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海伦公式探究

背景：海伦公式在数学学习中使用非常广泛，它方便了日常数学学习中三角形的面积计算，使我们只需知道任意三角形的三边长度，就可以用公式求得三角形的面积大小。但是你知道海伦公式的证明方法吗？本次探究，着手海伦公式的证明方法、推广，使同学们能更深刻地记住海伦公式、容易证明，并且合理使用。

过程：海伦公式

证明

三斜求积术

推广

运用

余弦定理

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王

希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米得所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

如右图，假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由图下公式求得。

证明Ⅰ：

与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余a2b2c2弦定理为：cosC

2abS1absinC①

21ab1cos2C②

21(a2b2c2)2③

ab12224ab141414144a2b2(a2b2c2)④

(2aba2b2c2)(2aba2b2c2)⑤

[(ab)2c2][c2(ab)2]⑥

(abc)(abc)(abc)(abb)⑦

abb

2abcabcabc,pb,pc,

则pa222设p上式(abc)(abc)(abc)(abc)

16p(pa)(pb)(pc)

所以，

证明Ⅱ：我国著名的数学家九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜。

定理:若三角形的三条边分别是:大斜、中斜、小斜，则三角形面积为：S△ABCp(pa)(pb)(pc)

原文见<数书九章>卷五第二题: 以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余，半之．同乘于上，以小斜幂并大斜幂，减上．余，四约之为实，开平方，得积．

证明：如

图，a=u+v，b=h+u，c=h+v

2222所以，u-v=b-c

(u+v)(u-v)=(b+c)(b-c) a(u-v)=(b+c)(b-c) (u-v)=(b+c)(b-c)/a 222222因(u+v)=a，所以

又 h=b-u，三角形面积=a．h/2

222

此即：

将根号下的多项式分解因式，便成为，

其中c>b>a.

可见，三斜求积术与古希腊海伦公式是等价的

所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：

设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p =S△ABC =1(a+b+c),则

211aha=ab×sinC = r p 22abc

4R2

= 2R----sinAsinBsinC =

=p(pa)(pb)(pc)

p(pa)(pb)(pc)就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著其中，S△ABC =作《测地术》中有记载。

海伦公式在解题中有十分重要的应用。

一、

海伦公式的变形

S=

=p(pa)(pb)(pc)

1(abc)(abc)(acb)(bca)

①

4

141

=41

=41

=4

=

[(ab)2c2][c2(ab)2]

②

(a2b2c22ab)[(a2b2c22ab)]

③

4a2b2(a2b2c2)2

④

2a2b22a2c22b2c2a4b4c4

⑤

证一：根据勾股定理证明。分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC =手，运用勾股定理推导出海伦公式。

1aha入2

证二：根据斯氏定理证明。

根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：

｛已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积｝

这里用海伦公式的推广

S圆内接四边形(pa)(pb)(pc)(pd)（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）

代入解得s83

海伦公式在解题中有十分重要的应用。

二、

海伦公式的推广

由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=abcd,则S四边形=(pa)(pb)(pc)(pd)

2现根据猜想进行证明。

证明：如图，延长DA，CB交于点E。

设EA = e

EB = f ○○∵∠1+∠2 =180

∠2+∠3 =180

∴∠1 =∠3

∴△EAB～△ECD SEABfbb2e∴==

=2

2aefcdS四边形ABCDdb

解得：

e =b(abcd)b(adbc)

①

f =

②

d2b2d2b2d2b2由于S四边形ABCD =S△EAB

b2b(d2b2)将①，②跟b =代入公式变形④，得：22db

所以，海伦公式的推广得证。

三、

海伦公式的推广的应用

海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。

例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD =33,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 4

求：四边形可能为等腰梯形。

解：设BC = x

由海伦公式的推广，得：

133(112x)(11x2)(2x11)(2x11)=

44

(4－x)(2＋x)2 =27

x4－12x2－16x＋27 = 0

x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0

(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0

x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0

当x = 1时，AD = BC = 1 ∴

四边形可能为等腰梯形。