小结教学设计实例

《一元二次不等式恒成立问题》教学设计

一、

教学分析

（一）教材内容分析

本知识点是《一元二次不等式及其解法》中的一部分，做为本章的复习内容之一，起到了知识拓展延伸的作用。此知识点很好的反映了二次函数的图象与二次不等式之间的关系，反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。

（二）教学对象分析

1．从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密，抽象思维能力也有进一步提升，所以要更加注重其抽象思维的训练，因此对于这个阶段的学生来说，本节课的内容十分适合锻炼学生的思维能力。

2．学生在前面已经学习了一元二次不等式的解法，也明确了三个“二次”的关系，为恒成立问题做好了铺垫。同时反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法。

（三）学习环境分析

本节课的内容需要结合二次函数的图像加以理解，为了使学生能更直观更有效的理解学习内容，特选用计算机（网络）教室环境下教学，同时使用多媒体等教学手段辅助教学。

二、

教学目标

（一）

知识和能力

理解二次函数图象与不等式恒成立的关系；掌握一元二次不等式在实数集R上的恒成立的条件，了解数形结合与分类讨论的数学思想。

（二）

过程和方法

通过自主学习，观看微课等形式，独立完成知识的学习过程，培养学生“从形到数”的转化能力，“从特殊到一般”的归纳概括能力。

1

（三）

情感态度和价值观

创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用，

培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。

三、教学重、难点

（一）教学重点

一元二次不等式在实数集R上的恒成立问题

（二）教学难点

数形结合思想和分类讨论思想的应用

四、教学方法

本节课采用探究式课堂教学模式，即以学生独立自主和合作交流为前提，结合现代化技术手段，通过新科导入、微课学习、自我检测、交流探究、小组合作、启发引导、练习小结等环节，层层深入，在教学过程中，教师关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节，逐步向智慧课堂走进。

以“一元二次不等式恒成立”为基本探究内容，从问题入手，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种尝试活动，将自己所学知识应用于探讨之中，并借助计算机环境下的多媒体等技术手段，更生动更直观的理解知识之间的联系，并能大幅度提高课堂效率。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

五、教学过程

教学流程图

2

教师活动

引入课题

学生活动

给出问题

层层递进，引入新知

创设情景

引入新课

结合图象回答问题，

根据云平台自播放微课

动统计检测结果，适当评价

观看微课自我检测

观看微课

完成自我检测

给出例题

适当评价

小组合作

例题研讨

小组探讨，展示成果

给出时间

适当评价

及时训练

巩固深化

完成训练

发表看法

评价小结

布置作业

结束

【新课导入】（通过问题的层层递进，引入新知，建立已有知识与新知识的联系）

问题1：解一元二次不等式x22x30. 问题2：画出二次函数

yx22x3的图像. 问题3：二次函数yax2bxc(a0)，若对于任意的xR，y0恒成立，此时的图像如何？

（教师给出问题，学生独立完成，并把自己的答案拍照上传给老师检查，老师选出一名学生的答案展示在大屏幕上做示范，并请该同学进行讲解。）

【新课导学】(观看微课，完成知识点的学习，体会数形结合思想的应用）

一元二次不等式在实数集R上的恒成立问题(结合微课，完成此部分内容) 3

（a0）一元二次不等式axbxc0

2______________

____________________________

____________________________

__________________________________________  [来源:学科网]（a0）一元二次不等式axbxc0

2（a0）一元二次不等式ax2bxc0

（a0）一元二次不等式ax2bxc0

（观看微课，完成表格，请一名学生到黑板上完成表格，其他同学对照。引导学生体会在微课讲解中用到数形结合的思想方法。）

【自我检测】（学生自测，以便教师及时掌握学生微课学习情况）

1.已知xR,x22mx10恒成立，则m的取值范围是

（

）

A.m1 B.m1 C. 1m1 D. m1或m1

2xx2.对任意实数，都有不等式2xc0，则c的取值范围是（

）

A.c-1 B.c-1 C. c-1 D. c-1

22xxm0对任意实数x都成立，则m的取值范围是3.不等式（

）

A. m B. m C. m D. m

2xaxa0恒成立，则a的取值范围是x4.对任意实数，不等式18181818（

）

A.0a4 B.a4或a0 C. a4 D.a4 （通过师生交互平台，逐题统计学生的答题情况，找出共性问题，请一名做错的学生来解释他的解题过程，从而找到错误原因。）

【典型例题】（新知应用，逐渐递进，体会分类讨论的数学思想）

例1、若不等式ax2ax0对一切xR恒成立，求实数a的取值范围.

解：（1）当a=0时，不等式可化为1≥0，对一切xR恒成立，符合题意；

4

（2）当a≠0时，，

0a4

综上可得 0≤a≤4. (学生拍照上传解题过程，老师检查，并请一名学生讲述解题思路，若不完整，其他同学补充。老师总结本题应用的数学思想——数行结合与分类讨论。）

2x例2、当x1,2时，不等式mx40恒成立，求m的取值范围. 2f(x)xmx4，当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立解：设在区间(1,2)上函数f(x)的图象位于横轴的上方，函数f(x)的对称轴为xm2. m1当2，即m2时，f(x)在区间(1,2)上单调递增，只要f(1)m50即可，解得m5m2；

当1f(x)mm22即4m2时，只要f(x)mi0n即可，mm2m2)440ifn(244，由，得4m44m2

当m2即m4时，f(x)在区间(1,2)上单调递减，只要2f(2)2m80，解得m4m4

综上所述：m的取值范围为4,

（学生可以在学生课件中通过改变m的值，观察函数图像的变化，并根据小组同学之间的交流，从而做出正确的分类；组内研讨后，请一名同学到台前结合动态图像变化讲解分类情况，最后各自整理解题步骤，老师给出标准答案。）

【课堂练习】（及时的，有针对性的巩固所学新知）

1.若关于x的不等式ax22x20在R上恒成立，求实数a的取值范围. 5

2y(t1)x(t1)x2的定义域为R，2.已知函数求实数t的取值范围。

（学生自主解答，若有困难可小组内交流解决，然后拍照上传答案，老师找出优秀解答，学生对比修改。）

【知识小结】(学生总结）

一、解决一元二次不等式恒成立的方法：

1.

判别式法 2.数形结合法 二、数形结合和分类讨论思想的应用。

【课后作业】(进一步巩固本节课知识点的应用，并给有能力的学生拔高）

1．若关于x的不等式ax22x10在R上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

（-1,0] C. ,1 D. [-1,+)

（-1,0）A. B. 22．对任意的实数x，不等式mxmx10恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

A. 4,0 B. 4,0 C. 4,0 D. 4,0

3．已知任意的实数x，不等式ax2ax10恒成立，则实数a的取值范围

是 4．对任意的实数x，不等式mx2(1m)xm0恒成立，则实数m的取值范围是 225．已知不等式(m+4m5)x4(m1)x30对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. 26．已知关于x的不等式(m2)x2(m2)x40对于xR恒成立，求实数m的取值范围．

7.已知函数fxmx2mx1. (1)若对于xR,fx0恒成立，求实数m的取值范围； (2)若对于x1,3，fx5m恒成立，求实数m的取值范围．

6

六、板书设计

《一元二次不等式恒成立问题》

一元二次不等式在实数集R上的恒成立问题 方法:1.判别式法

2.数形结合法

思想：1.数形结合

2.分类讨论

一元二次不等式 （a0）

ax2bxc0

a0

0一元二次不等式（a0）ax2bxc0

a0

0a0

0一元二次不等式（a0）ax2bxc0

一元二次不等式（a0）ax2bxc0

0a 源:学0科网]

[来7