阅读与思考 九连环教案和课堂实录

数列的通项

【教学目标】

1. 理解数列的通项公式的意义，能根据通项公式写出数列的任意一项，以及根据其前几项写出它的一个通项公式．

2. 了解数列的递推公式，会根据数列的递推公式写出前几项．

3. 培养学生积极参与、大胆探索的精神，培养学生的观察、分析、归纳的能力．

【教学重点】

数列的通项公式及其应用．

【教学难点】

根据数列的前几项写出满足条件的数列的一个通项公式．

【教学方法】

本节课主要采用例题解决法．通过列举实例，进一步研究数列的项与序号之间的关系．通过三类题目，使学生深刻理解数列通项公式的意义，为以后学习等差数列与等比数列打下基础．

【教学过程】

环节

教学内容

⒈

数列的定义

按一定次序排列的一列数叫做数列．

注意：（1）数列中的数是按一定次序排列的；

（2）同一个数在数列中可以重复出现．

导

入

2. 数列的一般形式

数列a1，a2，a3，…，an，…，可记作{ an }．

3. 数列的通项公式：

如果数列{ an }的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．

新

课

如果已知一个数列的通项公式，则可依次用限定的正整数1，2，3，…去代替公式中的n，就可求出数列中的各项．

例1

根据通项公式，写出下面数列

学生解答例题．

将例题直接当

教师引导学生复习．

师生互动

为学生进一步理解通项公式，应用通项公式解决实际问题做好准备．

设计意图

1

{ an }的前5项：

（1）an =

n ；

n+1 n

师：你能总结一下这类题目的解决方法吗？

学生总结解法，教师点拨、解答学生疑难，多媒体出示解题过程．

请学生在黑板上做练习一和练习二．

老师巡视指导．

师生共同订正答案．

教师引导学生分析数列的每一项与这一项的序号之间的对应关系：

项

1

3

5

7 ↓ ↓ ↓ ↓

序号 1

2

3

4 师：你能找出各项与项数二者的对应关系满足什么规律吗？

作成练习，由学生自己寻找解题方法，让学生体验探索与成功的快乐．

由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，本练习为写通项公式做准备，尤其是对接受能力偏弱的学生，可多举几个例子让学生观察，归纳通项公式与各项序号的关系，尽量为例2做准备．

由数列的前几项写出数列的一个通项公式是学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项的结构特征，让学生依据前几项的规律，寻求项与序号的关系．最后教师引导学（2）an = (－1)·n

.

解

（1）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项为

12345

，

，，

，；

23456（2）在通项公式中依次取n=1，2，

3，4，5，得到数列的前5项为

－1，2，－3，4，－5．

练习一

根据下列数列{an}的通项公式，写出

它的前5项：

（1）a = n3；

n

新

课

（2）an = 5(－1)n+1

.

练习二

根据下列数列{an}的通项公式，写出

它的第7项和第10项：

n （1）an = 2；

n

例2

写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

（1）1，3，5，7；

22－132－142－152－1（2），，，；

23451111（3）－

，

，－

，

．

1•22•33•44•5解

（1）数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式是

（2）an = n (n+2)；

(－1)n+1

（3）an = ；

n

（4）an = －2n+3 .

2

2an

= 2n－1；

22－132－1（2）数列的前四项，，234－15－1，分母都是序号加上1，分子452学生探究找出规律：数列生结论．

的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1．

师：如何用含有n的式子来表示第n项an？

教师对学生的回答给以点评，板书解题过程．

学生根据（1）题的解题思路，分组合作，讨论解答后两道题．

教师巡视指导．

教师说明数列的通项公式可以不止一个．

教师引导学生总结．

师：当一个数列中的数依次出现“＋”“－”

相间时，应如何解决？

师：根据数列的前几项，写数列的一个通项公式的方法是什么？

学生合作探究，完成练习．

教师巡视指导．

师生共同订正答案．

培养学生的合作探究意识和创新意识．

学生可能会写出多种不同的通项公式，对学生善于思考，勇于创新的精神给予赏识性评价．

培养学生勤动手、动脑、善于总结、归纳的习惯．

通过练习，让学生进一步掌握写通项公式的方法．

在教师的引导下，培养学生观察、分析、归纳的能力．

都是分母的平方减去1，所以它的一个通

项公式是

( n + 1 ) 2－1

n ( n + 2 )

an=

= ；

n + 1n + 1

11（3）数列的前四项

－，，1•22•311－，的绝对值都等于序号与序号

3•44•5

加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数

项为正，所以它的一个通项公式是

新

课

总结：

（1）当一个数列中的数依次出现“＋”“－”相间时，应先把符号分离出来，用(－1)或(－1)nn+1an

= ( －1 ) n．

n•( n + 1 )

等来表示．

（2）认真观察各数列所给出的项，寻求各项与序号的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式．

练习三

（1）已知一个数列的前4项分别是1111

2，4，6，8，…，则它的一个通项公式

是

．

23－133－143－1（2）数列，，，23435－1

，…的一个通项公式是（

）．

5

n (n2－1) n (n 2+1)（A）

（B）

n +1n

n (n2

+3n+ 3) n (n2

+2)（C）（D）

n + 1n

3

例3

已知数列{an}的第1项是1，1an

= 1＋（n≥2）

an－1给出，写出这个数列的前5项．

例3中的函数表达式，表达的是任一项an与它的前一项an-1的关系，这样的关系式叫做数列的递推公式．

解

不难得出

a1= 1；

11a2

= 1＋

= 1＋

= 2；

a11113a3= 1＋

= 1＋

= ；

a222

教师出示例3，引导、点拨．

师：数列中，

an

项与an-1项是什么关系？

引导学生得出：是任一项与前一项的关系．

教师给出递推公式的定义．

学生分组探究．

教师巡视指导，强调代数计算时，要注意正确性．

请学生在黑板上做题．

教师巡视指导、订正．

培养学生积极实践、科学探究的学习态度．

加强练习，体会递推公式的应用．

以后各项由公式

新

课

1

1 5a4

= 1＋

= 1＋

= ；

a33321

1 8a5= 1＋

= 1＋

= ．

a4553

练习四

（1）已知数列{an}，其中a1=1 981，an= an－1＋12，n≥2，写出这个数列的前5项．

（2）已知数列{an}中，a5 = 2009，an

= an－1＋12，n≥2．求a1．

三类题目：

（1）由数列的通项公式写出数列某学生阅读课本P5～P7，畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．

梳理总结也可针对学生薄弱或易错处强调总结．

小

结

一项；

（2）根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式；

（3）根据数列的递推公式写出数列的前几项．

作

业与反思

教材P8，习题第5，6，7题．

根据数列前几项写出数列通项没什么问题，但是在谈及递推公式时学生掌握起来有点困难，不是很能理解，这是学生课后完成．

巩固拓展．

4

需要进一步加强的。

5