2.2.2 反证法主要内容及教案内容

人教A版

选修1-2 第二章2.2.2

反证法

讲课人:马炯霞

2.2.2 反证法

一、教学目标

（1）知识与技能：理解反证法的概念，体会反证法的思考过程、特点，掌握反证法证题的步骤。

（2）过程与方法：通过反证法的学习，体会直接证明与间接证明之间的辩证关系。

（3）情感态度与价值观：通过反证法的学习，培养审慎思维的习惯，认识数学的科学价值。

二、重难点分析

教学重点：反证法的概念及反证法的解题步骤。

教学难点：反证法的应用。

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式。

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导。

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线。

“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点。

学法：突出探究、发现与交流。

四、教学理念

本节课的教学理念为建构主义的教学观。建构主义主张教学不能无视学生已有的知识经验。因此，教师应当把学生原有的知识经验作为新知识的生长点，从已知知识出发，引导学生积极主动地在旧知识的基础上构建新知识，让学生获得发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

五、教学方法

本节课主要采用的教法为问答式教学法，使用的学法有自主学习法、探究学习法以及合作学习法。由于本节是将学生原有的知识经验作为新知识的生长点，从已知知识出发，从而在旧知识的基础上构建新知识，因此学生活动多为自主探究，也可选择小组合作的形式。在教学流程完成的过程中，配合师生的问答，并在某些关键点通过教师的引导与激发，使得学生能够更加快速、更加容易地得出结论。

六、教学过程

（一）温故知新

（1）

直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，

直接推理证明结论的真实性。

常用的直接证明方法：综合法与分析法。

综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。

（2）

让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？（初中所学）

间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等

价命题为真，间接地达到证明的目的。

反证法就是一种常用的间接证明方法。

(二)探究新知

思考：1、A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？

2、如果有5只鸽子飞进两个鸽笼，至少有3只鸽子在同一个鸽笼，对吗？

师：提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？

阅读材料：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍。一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动。等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”

【学生自主合作探究】

学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：

1、材料里蕴含了怎样的数学道理？

2、什么是反证法？

3、反证法的证题步骤有哪几步？

4、什么样的命题适合用反证法来证明？

5、反证法的应用关键在于什么？

【学生展示、交流】

（1）反证法概念

反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。

（2）反证法的一般步骤：

a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；

b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。

（3）应用反证法的情形：

①直接证明困难; ②需分成很多类进行讨论．

③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”

---类命题；

④结论为

“唯一”类命题；

（4）关键在于归缪矛盾：

a、与已知条件矛盾；b、与公理、定理、定义矛盾；c、自相矛盾。

【教师归纳评价并强调】：

同学们对反证法的学习已经有了一些认识，而反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾。

（三）典例解析

例1：求证：在个三角形中，至少有一个内角不小于60°。

证明：假设三角形有三个内角∠A 、∠B 、∠C都小于60°

则有∠A+∠B+∠C ＜180°， 这与三角形内角和等于180°相矛盾。

所以假设不成立，

从而在个三角形中，至少有一个内角不小于60°

注：结论中含“至多、至少”形式出现；直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。

例2：求证：2是无理数。

学生自主完成，教师适当给出启发。

注：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法.

例3：已知0

学生自主完成，教师适当给出启发。

注：命题结论含有“不能”、“不是

”“一定不”等词时，可考虑反证法.

例4: 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。

学生自主完成，教师适当给出启发。

注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,是唯一性问题,常用反证法。 【教师从例题分析中小结反证法相关知识，提高学生的解题能力】：

反证法的方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实。

(四)

反馈练习

1.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应该是(

) A.a

B.a≤b C.a=b

D.a≥b 2.实数a,b,c不全为0等价于(

) A.a,b,c均不为0

B.a,b,c中至多有一个为0 C.a,b,c中至少有一个为0

D.a,b,c中至少有一个不为0 （五）课堂小结

（一）应用反证法的情形：

(1)结论含“至少”、“至多”等词的命题；

(2)直接证明困难；

(3)否定性命题；

(4)结论为

“唯一”类命题. （二）反证法的证明过程

（六）课后作业

已知：整数a的平方能被2整除，

求证：a是偶数。

七、教学反思