3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优质课教案整理

第三章

数系的扩充与复数的引入

3.1.2 复数的几何意义

教学内容：

复数的几何意义

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教学目的：

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（1）能够类比实数的几何意义说出复数的几何意义。（2）会利用几何意义求复数的模。

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教学重点：复数的几何意义和复数的模的几何意义。

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教学难点：复数的模的几何意义。

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学前分析：



复数的几何意义，在学生认识了复数的代数意义及表示的基础上，进一步与实数的数轴表示类比，体会和理解复数的几何意义。本着本节的教学重点，首先提出问题导学：1、类比实数的几何意义，复数能否借助于平面直角坐标系中的点来表示；2、联系平面向量的坐标表示，复数能否与向量建立一一对应关系；3、类比向量模的几何意义，复数模的几何意义是什么？

前一节我们学习了复数的概念，那么复数它表示

的集合意义又是什么呢？

思考我们知道,实数与数轴上的点一一对应,因此,实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义,复数的几何意义是什么呢?根据复数相等的定义,任意一个复数zabi,都可以由一个有序实数对a,b唯一确定.由于有序实数对a,b与平面直角坐标系中的点一一对应,因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.

实轴

如图3.12,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数zabi可用点Za,b表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做,y轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.ybZ:abiaO

x图3.12

复数的这种几何表示于1797年由挪威的测量学家韦塞尔(CasparWessel)提出,随即由瑞士的藏书家阿甘得(JeanRobertArgand)出书进行讨论并得到高斯的认同,因此这种几何表示也称为阿甘得图(Arganddiagram).为了加深对复数有关概念的理解，我们看下

面的例子来加深一下印象.

例如,复平面内的原点0,0表示实数0,实轴上

的点2,0表示实数2,虚轴上的点0,1表示

纯虚数i,点2,3表示复数23i等.

按照这种表示方法,每一个复数,有平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.由此可知,复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即一一对应复数zabi复平面内的点Za,b

如图3.13,设复平面内的点Z

表示复数zabi,连结OZ,显

然向量OZ是由点Z唯一确定的;

反过来,点Z(相对原点来说)也

.,

可以由向量OZ唯一确定因此

复数集C与复平面内的向量所

成的集合也是一一对应的(实

数0与零向量对应),即

这是复数的一种几何意义.可以用一个有序实数对来表示,而有序在平面直角坐标系中,每一个平面向量都实数对与复数是一一对应的这样.,我们还可以用平面向量来表示复数.ybZ:abiaOx图3.13

一一对应复数zabi平面向量OZ

为方便起见,我们常把复数zabi说成点

Z或说成向量OZ,并且规定,相等的向量表

.

示同一个复数

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这是复数的另一种几何意义.向量OZ的模r叫做复数zabi的模,记作|z|或|abi|.如果b0,那么zabi是一个实数a,它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知:|z||abi|rabr0,rR.应用举例



(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(

) 

A．(－3,1)

B．(－1,3) 

C．(1，＋∞)

D．(－∞，－3) 



(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(

) A．1

C.3

B.2 D．2

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(3)．(2017·高考全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(

) 

A．第一象限

B．第二象限

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C．第三象限



归纳小结：

1、复数的几何意义。

2、复数模的几何意义。

3、数学思想方法：类比、数形结合。

D．第四象限