小结教学设计(第一课时)

必修5 第三章

不等式

复习课

一．课标要求：

1．不等关系

通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；

2．一元二次不等式

①．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；

②通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；

③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。

3二元一次不等式组与简单线性规划问题

①从实际情境中抽象出二元一次不等式组；

②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；

③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

二．要点精讲

1．不等式的解法

解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。

2．一元一次不等式

解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

(1)a0axb分(2)a0情况分别解之。

(3)a03．一元二次不等式

ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)分a0及a0情况分别2解之，还要注意b4ac的三种情况，即0或0或0，最好联系二次函数的图象。

4．分式不等式

f(x)g(x)0f(x)f(x)分式不等式的等价变形：>0f(x)·g(x)>0，≥0。

g(x)0g(x)g(x)5．线性规划

（1）平面区域

一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示AxByC0某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。

说明：由于直线AxByC0同侧的所有点的坐标(x,y)代入AxByC，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点(x0,y0)，从Ax0By0C的正负即可判断AxByC0表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当C0时，通常把原点作为此特殊点。

（2）有关概念

引例：设z2xy，式中变量x,y满x4y3足条件3x5y25，求z的最大值和最x1小值。

由题意，变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当x0,y0时，y

x1

C

A

x4y30B

x5y2503x

O

z2xy0，即点(0,0)在直线l0：2xy0上，作一组平行于l0的直线l：2xyt，tR，可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点(x,y)满足2xy0，即t0，而且，直线l往右平移时，t随之增大。

由图象可知，当直线l经过点A(5,2)时，对应的t最大，

当直线l经过点B(1,1)时，对应的t最小，所以，

zmax25212，zmin2113。在上述引例中，不等式组是一组对变量x,y的约束条件，这组约束条件都是关于x,y的一次不等式，所以又称为线性约束条件。z2xy是要求最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式，叫目标函数。又由于z2xy是x,y的一次解析式，所以又叫线性目标函数。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。

三．典例解析

1、解不等式－1

由①得x(x＋2)>0，所以x<－2或x>0；

由②得(x＋3)(x－1)≤0, 所以－3≤x≤1.

将①、②的解集在数轴上表示出来如图，求其交集得原不等

x|－3≤x＜－2或0＜x≤1. 式的解集为{}

方法点评：(1)本例中端点值能否取到易搞错，“＝”号易漏掉．

(2)利用转化思想及数轴可以准确地找出不等式的解集．

2、某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A，B两种规格金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A，B两种规格金属板各取多少张，

才能完成计划，并使总的用料面积最省？

解：设A、B两种金属板各取x张、

y张，用料面积为z则约束条件为

3x＋6y≥45，



5x＋6y≥55，目标函数z＝2x＋3y.

x，y∈N.

作出以上不等式组表示的可行域，如图

所示．

作直线l：2x＋3y＝0，把直线向右上方平移，

当直线经过可行域上的点M时，

z＝2x＋3y取得最小值，

5x＋6y＝55

由得M点坐标为3x＋6y＝45

(5,5)．此时，zmin＝2×5＋3×5＝25.

答：两种金属板各取5张时，用料面积最省

方法点评：本题属于给定一项任务，问怎样统筹安排才能使完成这项任务的人力、物力资源量最小的题型．解答这类问题的方法是：根据题意列出不等式组(约束条件)，确定目标函数，然后由约束条件找出可行域，最后利用目标函数的平移，在可行域内求出使目标函数达到最值的点，从而求出问题的最优解．

四．小结、课后反思

1．在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习

解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、

准确求解。

加强分类讨论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论.复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理的分类，做到不重不漏。

加强函数与方程思想在不等式中的应用训练。不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化.如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法.在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视。

2．强化不等式的应用

突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识。

高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键.因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力。

如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误。

3．突出重点

综合考查在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重。在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度