一 比较法课堂实录【3】

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专题检测（十八）

选修4-5

不等式选讲

11．(2017·沈阳质检)已知函数f(x)＝|x－a|－x(a>0)．

2(1)若a＝3，解关于x的不等式f(x)<0；

a(2)若对于任意的实数x，不等式f(x)－f(x＋a)

21解：(1)当a＝3时，f(x)＝|x－3|－x，

21即|x－3|－x<0，

211原不等式等价于－x

22解得2

a(2)f(x)－f(x＋a)＝|x－a|－|x|＋，原不等式等价于|x－a|－|x|

2由三角绝对值不等式的性质，得|x－a|－|x|≤|(x－a)－x|＝|a|，

原不等式等价于|a|0，∴a1. 故实数a的取值范围为(1，＋∞)．

2．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于

x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.

①

当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；

当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；

当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，

－1＋17从而1＜x≤. 2－1＋17. 所以f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤2

(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2. 所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1，1]时，f(x)≥2. 又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1. 所以a的取值范围为[－1,1]．

3．(2017·石家庄质检)设函数f(x)＝|x－1|－|2x＋1|的最大值为m. (1)作出函数f(x)的图象；

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(2)若a2＋2c2＋3b2＝m，求ab＋2bc的最大值．

1解：(1)f(x)＝－3x，－

1x＋2，x≤－，2

3(2)由(1)知m＝. 23∵＝m＝a2＋2c2＋3b2＝(a2＋b2)＋2(c2＋b2)≥2ab＋4bc，

233∴ab＋2bc≤，∴ab＋2bc的最大值为，

441当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

24．(2017·宝鸡质检)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2. (1)解不等式|g(x)|<5；

(2)若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．

解：(1)由||x－1|＋2|<5，得－5<|x－1|＋2<5，

∴－7<|x－1|<3，得不等式的解集为{x|－2

(2)因为对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，

所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，

又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，

g(x)＝|x－1|＋2≥2，

所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，

所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．

5．(2017·东北四市高考模拟)已知a>0，b>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|的最小值为1. (1)证明：2a＋b＝2；

(2)若a＋2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．

b解：(1)证明：因为－a<，

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－3x－a＋b，x≤－a，－x＋a＋b，－a

bbb－∞，上单调递减，在，＋∞上单调递增，所以f(x)的最小值为f 显然f(x)在222b＝a＋，

2b所以a＋＝1，即2a＋b＝2. 2a＋2b(2)因为a＋2b≥tab恒成立，所以ab≥t恒成立．

a＋2b12112因为＝＋＝b＋a(2a＋b) abba22a2b115＋＋≥5＋2＝ba222a2b9＝. b·a2a＋2b29当且仅当a＝b＝时，取得最小值，

ab3299所以t≤，即实数t的最大值为. 226．(2017·贵州适应性考试)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－5|，g(x)＝1＋x2. (1)求f(x)的最小值；

(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b满足a2＋b2＝6，求证：g(a)＋g(b)≤m. 解：(1)∵f(x)＝|x－1|＋|x－5|≥|x－1－x＋5|＝4，

∴f(x)min＝4. (2)证明：由(1)知m＝4.由柯西不等式得

[1×g(a)＋1×g(b)]2≤(12＋12)[g2(a)＋g2(b)]，

即[g(a)＋g(b)]2≤2(a2＋b2＋2)，

又g(x)＝x2＋1>0，a2＋b2＝6，

∴0

即g(a)＋g(b)≤m. 7．(2017·太原模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋1(a≠0)．

2a(1)若不等式f(x)－f(x＋m)≤1恒成立，求实数m的最大值；

1(2)当a<时，函数g(x)＝f(x)＋|2x－1|有零点，求实数a的取值范围．

2解：(1)∵f(x)＝|x－a|＋1，

2a

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1∴f(x＋m)＝|x＋m－a|＋，

2a∴f(x)－f(x＋m)＝|x－a|－|x＋m－a|≤|x－a－x－m＋a|＝|m|，

∴|m|≤1，即－1≤m≤1，

∴实数m的最大值为1. 1(2)当a<时，

2g(x)＝f(x)＋|2x－1|＝|x－a|＋|2x－1|＋1

2a11＝－x－a＋2a＋1，a≤x≤2，，3x－a＋21a－1，x>12又函数g(x)有零点，

1－3x＋a＋＋1，x

2

11－∞，上单调递减，在，＋∞上单调递增．

∴g(x)在22111－2a＋a＋1∴g(x)min＝g＝－a＋＝≤0，

222a2a10

2－2a＋a＋1≥0，2－2a＋a＋1≤0

1解得－≤a<0，

21－，0. ∴实数a的取值范围是28．(2017·成都二诊)已知函数f(x)＝4－|x|－|x－3|. 3x＋≥0的解集；

(1)求不等式f 2(2)若p，q，r为正实数，且111＋＋r＝4，求3p＋2q＋r的最小值．

3p2q333x＋＝4－x＋－x－≥0，

解：(1)由f 22233x＋＋x－≤4. 得223333当x<－时，－x－－x＋≤4，解得－2≤x<－；

22223333当－≤x≤时，x＋－x＋≤4恒成立，

222233∴－≤x≤；

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3333当x>时，x＋＋x－≤4，解得

综上，f2(2)令a1＝3p，a2＝2q，a3＝r. 由柯西不等式，得

22212＋12＋12·a1a2a3(a1＋a2＋a3) 1112·a1＋·a2＋·a≥aa3＝9，

a123111＋＋r(3p＋2q＋r)≥9. 即3p2q1119∵＋＋＝4，∴3p＋2q＋r≥，

3p2qr41114133当且仅当＝＝r＝，即p＝，q＝，r＝时，取等号．

3p2q34849∴3p＋2q＋r的最小值为. 4