1.3 实习作业国家优质课一等奖

正余弦定理的综合运用

广东省高州市第一中学

莫月兴

一、教材分析

1．教学内容：必修5第1.1节正弦定理和余弦定理，根据课标要求本书该节共3课时，这是第3课时，其主要内容是正余弦定理的综合运用。

2．地位作用：①高考考纲要求：掌握正余弦定理，并能够运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。②高考考查趋势：斜三角形的边角关系以选择题或填空题给出一小题或难度较小的解答题。

二、学生学习情况分析

学生在学习本节之前已经分别学习过正弦定理和余弦定理，但学生只是停留在对正弦定理和余弦定理的初步认知阶段，对什么情况下用正弦定理、什么情况下用正弦定理未作进一步的研究，对三角形的边角互换未作进一步的探索。另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习奠定了一定的基础。

三、教学过程

（一）课前预习导学

1．学习目标

（1）、进一步熟悉正余弦定理内容，并能运用定理解决一些简单的实际问题。

（2）、通过正余弦定理综合运用的学习，提高解决实际问题的能力，进一步体会转化化归的数学思想。

（3）、通过一题多解、一题多变的训练，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功。

2．教学重点和难点：

（1）教学重点：利用正余弦定理进行边角互换。

（2）教学难点：利用正余弦定理进行边角互换时的转化方向。

3．教学方法：探析归纳，讲练结合

4．自主预习

（1）知识梳理：

abc2R（R为ABC的外接圆半经）

sinAsinBsinC正弦定理常见变形公式：

正弦定理：①边化角：a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC

abc,sinB,sinC

2R2R2R③比例：a:b:csinA:sinB:sinC

②角化边：sinA余弦定理：a2b2c22bccosA

b2c2a22cacosB

c2a2b22abcosA

余弦定理常见变形公式：

b2c2a2c2a2b2a2b2c2cosA，cosB，cosC

2ab2bc2ca作用：求角、判别角、边角互化

（2）预习检测：

1．在△ABC中，已知c3,B30,C120，则b______

2．【2012陕西文】在ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a,b,c，若a2

，

B6，c23，则b________

3．在ABC中，若a7，b3，c5，则A_________

4．在△ABC中，bcosAacosB,则三角形为（ ）

A、直角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

（二）预习检测反缋

1．在△ABC中，已知c3,B30,C120，则b______

解：由正弦定理bc得

sinBsinCbc3sinBsin301

sinCsin120小结：已知两角及其中一个角的对边，选用正弦定理. 变式1：在△ABC中，已知c3,b1,B30，则A_________

解：由正弦定理bc得

sinBsinC

c3sinCsinB3sin30b2∵cb， ∴CB，∴

C

60或C120. ∴A90或A30. 小结：已知两边和一边对角，用正弦定理求另一个角，但需要进行讨论，有两解的可能。

2．【2012陕西文】在ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a,b,c，若a2

，B6，

c23，则b________

解：由余弦定理得b2c2a22cacosB

(23)2222232cos64

∴b2

小结：已知两边和它们的夹角，用余弦定理求第三边。

变式2：在ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a,b,c，若a2

，A则b________

解：由余弦定理得abc2bccosA

∴2b(23)2b23cos即b6b80

解得b2或b4

小结：已知两边和一边的对角，用余弦定理求第三边，但要注意选用余弦定理时要选能用已知角的公式。

22226，c23，2226

3．在ABC中，若a7，b3，c5，则A____________

b2c2a23252721

解：由余弦定理得cosA2bc2352 ∵0A ∴A2

3小结：已知三边a,b,c，用余弦定理求角. 变式3：在ABC中，若a3,b4，c37，则这个三角形中最大角为_______

解：∵cab ∴C为最大内角

a2b2c23242(37)21由余弦定理得cosC

2ab2342∵0C ∴最大内角为C2

34．在△ABC中，bcosAacosB,则三角形为（ ）

A、直角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

解法一：由已知及正弦定理得

sinBcosAcosBsinA0

∴sin(BA)0

∵A,B(0,) ∴BA ∴选(C)

小结：运用正弦定理可以把边角关系转化为单一的角关系.

解法二：由已知及余弦定理得

b2c2a2c2a2b2ba

2bc2ca整理得,baab

22∴ab从而ab

∴选(C)

2222小结：运用余弦定理可以把边角关系转化为单一的边长关系.

变式4：在△ABC中，sinA2cosBsinC，那么△ABC是（ ）

A、直角三角形 B 锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

解法一：由已知及正弦定理、余弦定理得

c2a2b2a2c

2ca整理得,acab

∴cb从而cb∴选(C)

小结：运用正弦定理、余弦定理都可以把角转化为边. 解法二：∵ABC ∴sinAsin[(BC)]sin(BC)

∴由已知得sin(BC)2cosBsinC

∴sinBcosCcosBsinC2cosBsinC

∴sin(BC)0

∵B,C(0,) ∴BC ∴选(C)

小结：运用三角形内角和定理可以把三个角化为二个角,达到消元的目的.

222222

（三）课堂拓展探究

探究：已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C的对边，(1)求角A的大小；

（2）求函数y3sinBsin(C2bccosC. acosA6)的值域. 2sinBsinCcosC

sinAcosA

即2sinBcosAsinAcosCsinCcosA

故2sinBcosAsin(AC)sinB

∵

0B

∴sinB0

1

∴cosA

又∵0A

∴A

23解法一：（I）由已知及正弦定理，得：解法二：（I）由已知得(2bc)cosAacosC

b2c2a2a2b2c2a由余弦定理得(2bc)

2bc2ab∴(2bc)(b2c2a2)c(a2b2c2)

整理得bbcabbc0

∵b0,∴bcabc

2223222b2c2a21

∴由余弦定理得cosA2bc2又∵0A

∴A3

小结：①第（I）小题既可以用正弦定理，又可以用余弦定理,

应优先考虑用正弦定理, 因为用正弦定理一般情况下较简便。

②要注意解题规范,两边除以sinB时,要说明sinB0；由cosA1,得2A（II）∵

A3,要先说明A的范围.

∴BC322)

且B(0,33)

∴y3sinBsin(C63sinBsin(B)

23sinBcosB

2sin(B

∵B(0,6)

52) ∴B(,)

66631∴sin(B)(,1]

62

所以所求函数值域为(1,2]

小结：运用三角形内角和定理可以把二个角化为一个角,达到消元的目的.

（四）当堂检测

1．（2013上海文）已知△ABC的内角A, B, C所对的边分别是a，b，c，若a2abb2c20，则角C的大小是 .

解：由已知及得abcab

222a2b2c2ab1

由余弦定理得cosC2ab2ab2∵0C

∴角C的大小是2

32．ABC中，a2，b22，B45，则角A等于（

）

A．60

B．60或120

C．30

D．30或150

解：由已知及正弦定理得sinAasinB2sin451

b222∵ab

∴AB

∴A30，故选

( C ) 3．（2013陕西文理）设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若

bcosCccosBasinA, 则△ABC的形状为(

)

(A) 锐角三角形

(B) 直角三角形

(C) 钝角三角形

(D) 不确定

2解法一：由已知及正弦定理得sinBcosCcosBsinCsinA

∴sin(BC)sinA

∴sin(A)sinA

22

即sinAsinA

∵0A

∴sinA0

∴sinA1

∴

A22

故选(B) a2b2c2c2a2b2casinA

解法二：由已知及余弦定理得b2ab2caa2b2c2c2a2b2asinA

∴2a2a整理得aasinA

∵a0

∴sinA1

又∵0A∴

A4．如图，隔河看两目标A、B，但不能到达，

在岸边选取相距3千米的C、D两点，并

测得ACB75,ADBBCD45,

2

故选(B) ADC30，(A、B、C、D在同一平面)，

则两目标AB之间的距离为________。

解：由已知得CAD18075453030ADC

∴ACCD3

由已知得CBD18045304560

在BCD中，由正弦定理得BDCDsinBCD

sinCBD23sin452

sin6022在ACD中，由余弦定理得ADACCD2ACCDcosACD

(3)2(3)2233cos1209

∴AD3

在ADB中，由余弦定理得ABADBD2ADBDcosADB

22232(2)2232cos455

∴两目标AB之间的距离为5千米

（五）小结与反馈：

1．正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一边)，那么这个三角形一定可解。

2．正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互换，它是三角形边角转化的桥梁，充分体现了转化化归的数学思想,即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决。

3．根据条件选用定理可使解题简便,如果一道题即可以用正弦定理,又可以用余弦定理,应优先考虑用正弦定理,因为用正弦定理一般情况下较简便。

4．运用三角形内角和定理可以把三个角化为二个角或二个角化为一个角,达到消元的目的.

5．要注意解题规范:①两边除以一个数时,要说明这个数不等于零；②由三角函数值求角,要先说明角的范围.

（六）课后拓展提升

1．在△ABC中，sin2Asin2BsinBsinCsin2C,则A等于（ ）

A、30 B、60 C、120 D、150222

解：由已知及正弦定理得bcabc

b2c2a2bc1

由余弦定理得cosA2bc2bc2∵0A

∴A120，故选（C）

2．在△ABC中，已知acosAbcosB，那么△ABC是（ ）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰三角形或直角三角形

解法一：由已知及正弦定理得sinAcosAsinBcosB

∴sin2Asin2B

∵A、B(0,)

∴2A2B或2A2B

即AB或AB2

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形, 故选（D）

b2c2a2c2a2b2b解法二：由已知及余弦定理得a

2bc2ca整理得

a(bca)b(cab)

化简得

acabcb

∴(ab)(acbc)0

44222222422422222222

∴(a2b2)(a2b2c2)0

222∴ab或abc

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形, 故选（D）

3．在△ABC中，已知a4，b5，SABC53，则c___________

解：由已知得145sinC53

2∴sinC23

∵0C

∴C或C

332时,由余弦定理得c45245222121

∴c21

3221222当C时,由余弦定理得c45245()61

∴c61

32当C综上，c21或61

4．在四边形ABCD中，已知ADCD，

AD10，AB14，BDA，

3BCD3，则BC_____4如图，在四边形A

1

2解：在ABD中，由余弦定理得AB2AD2BD22ADBDcosBDA

即1410BD210BD解得BD16或BD6(舍去) ∵ADCD，BDA2223

∴BDC6

16BDsin82sinBDC在BCD中，由正弦定理得BC3

6sinsinBCD415．在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知向量m(,cosA)，

2n(sinA,3)，且mn

2

(1）求角A的大小；

(2）若a7,b8，求△ABC的面积．

解：(1）∵mn ∴mn0

则13sinAcosA0

22∵0A2

∴cosA0, 则tanA3 ∴A(2）解法一：由正弦定理得3

ab又a7,b8，

sinAsinB则sinB843

sin60771

7∵△ABC是锐角三角形

∴cosB∵sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB

∴SABC

解法二：∵a7,b8，A3114353

2727141absinC103

23

2∴由余弦定理得4964c28c即c8c150

解得c3或c5

21

2当c3时,cab949640所以cosB0,不合题意.

当c5时,cab2549640所以cosB0,符合题意. ∴SABC2222221bcsinA103

2