小结优秀教案

1.4 第一章

计数原理-小结与复习

一、教学目标：

知识与技能：

1.理解两个原理，并会应用解题；

2.掌握排列组合的概念并且会灵活运用；

3.掌握二项式定理的内容和熟练运用解题。

过程与方法：

通过复习回顾帮助学生建立知识网络，有典型问题的解决，提高学生分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：基本题型的掌握 难点：对基本概念和定理的理解和运用

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

（一）构建知识网络

1．两个计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之分解，达到求解的目的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键．

2．排列与组合

排列数与组合数计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其中求值问题应用连乘的形

式，证明恒等式应用阶乘的形式，在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两边的形式，基本遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢．

对于应用题，则首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题．

3．二项式定理

(1)与二项式定理有关：包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式；

(2)与通项公式有关：主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，此时要n－kk特别注意二项式展开式中第k＋1项的通项公式是Tk＋1＝Ckb(k＝0，1，…n)，其二项式nakk＋1系数是Cn，而不是Cn，这是一个极易错点．

（二）题型解析，形成技能

题型一：相邻问题，常用“捆绑法”，不相邻问题，常用

“插空法”

例1：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：

（1）男甲排在正中间； （2）男甲不在排头，女乙不在排尾；

（3）三个女生排在一起；

（4）三个女生两两都不相邻；

题型二：分组问题

例1（1）：3个小球分成两堆，有多少种分法？

（2）：4个小球分成两堆，有多少种分法？

（3）：6个小球分成3堆，有多少种分法？

题型三：分配问题

例3：（1）3个小球放进两个盒子，每个盒子至少一个，有多少种放法？

（2）：4本书分给两个同学，每人至少一本，有多少种放法？

（3）：三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，分配方案共有多少种？

注：多个分给少个时，采用先分组再分配的策略

练习3：

(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?

(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?

题型四：隔板法

例4、

从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选

法? 分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问题可用“隔板法”处理. 练习4：

（1）、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？

（2）、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？

题型五：定序问题“用除法”，平均分组“用除法”

例5：（1）8人站一排，甲、乙、丙从左至右的顺序不变，求不同的排队方案的种数。

（2）六本不同的书平均分成3组，有几种不同的分法？

题型六：混合问题，先“组”后“排”

例6：对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？

练习6：（1）、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种. （2）、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和

2 名护士,不同的分配方法共有多少种?

五、小结

排列、组合应用题的解题策略

1.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．

2.区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．

3.排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．

六、作业: 单元测试卷的选择题、填空题

七、教学反思

本节课作为章末复习小结课，主要帮学生建立起知识网络体系，明确常见的几种题型，体会排列、组合的综合应用。这是小结复习的第一课时，后面一节课再解决染色问题和二项式定理的相关题型。学生的学案里的染色问题留作思考题，下节课继续完成。