1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用课时教案

1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用

独立性检验的有关概念

[提出问题] 问题1：观察教材第10页的探究，其中的频数表叫什么？

提示：列联表．

问题2：由表中数据，你能说吸烟对患肺癌有影响吗？

提示：能．

问题3：如何用数字分析此类问题？

提示：利用随机变量K进行分析．

[导入新知] 1．分类变量

变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．

2．2×2列联表

假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称2×2列联表)为：

2

x1

x2

总计

3．等高条形图

y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来，其中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高条形图．

4．K统计量

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量K＝22a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

5．独立性检验

利用随机变量K来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量独立性检验．

[化解疑难] 反证法原理与独立性检验原理的比较

1 2

反证法原理——在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立．

独立性检验原理——在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过小概率. 独立性检验的步骤

[提出问题] 问题：利用随机变量K进行独立性检验需要几步？

提示：三步．

[导入新知] 独立性检验的具体做法

(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查右表确定临界值k0.

2

P(K2≥k0)

k0

0.50

0.455

0.05

3.841

0.40

0.708

0.025

5.024

0.25

1.323

0.010

6.635

0.15

2.072

0.005

7.879

0.10 2.706

0.001 10.828 P(K2≥k0)

k0

(2)利用公式K＝2a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d，计算随机变量K的观测值k. 2(3)如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．

[化解疑难] 详析独立性检验

(1)通过列联表或观察等高条形图判断两个分类变量之间有关系，属于直观判断，不足之处是不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率，而独立性检验可以弥补这个不足．

(2)列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，因此，需要用独立性检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体．

2

列联表和等高条形图的应用

[例1] 某学校对高三学生作了一项调查，发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．

[解] 作列联表如下：

考前心情紧张

考前心情不紧张

总计

相应的等高条形图如图所示：

性格内向

332

94

426

性格外向

213

381

594

总计

545 475 1 020

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．

[类题通法] 细解等高条形图

(1)绘制等高条形图时，列联表的行对应的是高度，两行的数据不相等，但对应的条形图的高度是相同的；两列的数据对应不同的颜色．

(2)等高条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显即有关系．

[活学活用] 为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：

aa＋bc＋d和c相差很大，就判断两个分类变量之间

子女吸烟

子女不吸烟

父母吸烟

237

678

父母不吸烟

83

522

总计

320 1 200 3

总计

915

605

1 520 利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响．

解：等高条形图如下：

由图形观察可以看出子女吸烟者中父母吸烟的比例要比子女不吸烟者中父母吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”.

独立性检验的原理

[例2] (辽宁高考节选)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

南方学生

北方学生

合计

喜欢甜品

60

10

70

不喜欢甜品

20

10

30

合计

80 20 100 根据表中数据，问：是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”？

[解] 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得k＝≈4.762.

由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．

[类题通法] 解决独立性检验问题的思路

解决一般的独立性检验问题，首先由题目所给的2×2列联表确定a，b，c，d，n的值，然后代入随机变量K的计算公式求出观测值k，将k与临界值k0进行对比，确定有多大的把握认为“两个分类变量有关系”．

[活学活用] 某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：

4 2－70×30×80×202100＝21

使用方案A组

使用方案B组

总计

(1)完成上述列联表；

有效

96

72

无效

总计

120

32

(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？

解：(1)列联表如下：

使用方案A组

使用方案B组

总计

(2)K＝2有效

96

72

168

2无效

24

8

32

总计

120 80 200 －120×80×168×32≈3.571＜3.841，

所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关．

1.独立性检验与统计的综合应用

[典例] (12分)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样的方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中抽取100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)，结果如下表．

表1：A类工人生产能力的频数分布表

生产能力分组

人数

表2：B类工人生产能力的频数分布表

生产能力分组

人数

[110,120)

6

[120,130)

[130,140)

27

[140,150) 18 [110,120)

8

[120,130)

[130,140)

3

[140,150) 2 x y

5

(1)确定x，y的值；

(2)完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系.

生产能力分组

工人类别

A类工人

B类工人

总计

附：K＝2[110,130)

[130,150)

总计

a＋bnad－bc2c＋da＋cP(K2≥k0)

k0

b＋d0.050

3.841

，

0.010

6.635

0.001 10.828

[解题流程] [规范解答] (1)∵从该工厂的工人中抽取100名工人，且该工厂中有250名A类工人，750名B类工人，

∴要从A类工人中抽取25名，从B类工人中抽取75名，(2分) ∴x＝25－8－3－2＝12，y＝75－6－27－18＝24.(4分) (2)根据所给的数据可以完成列联表，如下表所示：

生产能力分组

工人类别

A类工人

20

5

25 [110,130)

[130,150)

总计

6

B类工人

总计

30

50

45

50

75 100 由列联表中的数据，得K的观测值为

2k＝－25×75×50×502＝12＞10.828.(10分) 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为工人的生产能力与工人的类别有关系．(12分)

[名师批注] 要确定x，y的值，应先确定A类工人及B类工人中应各抽取多少人，此处易误认为x＝25，y＝75，从而导致解题错误

分

此处易犯错误有两点：①计算失误；②将公式中的数据搞错

[活学活用] 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．

根据已知条件完成下面的2×2列联表，据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？

男

女

总计

非体育迷

体育迷

总计

7

附：

P(K2≥k0)

k0

0.05

3.841

0.01 6.635 解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名观众中，“体育迷”有25名，“非体育迷”有75名，又已知100名观众中女性有55名，女“体育迷”有10名，所以男性有45名，男“体育迷”有15名，从而可完成2×2列联表，如下表：

男

女

总计

非体育迷

30

45

75

体育迷

15

10

25

总计

45 55 100 由2×2列联表中的数据，得K的观测值为

2k＝－45×55×75×252≈3.030.

因为3.030＜3.841，所以没有充分的证据表明“体育迷”与性别有关．

[随堂即时演练] 1．下面是一个2×2列联表：

x1

x2

总计

则表中a，b处的值分别为(

) A．94,96

C．52,54 a＋21＝73，解析：选C 由a＋2＝b，y1

a 2

y2

21

25

46 总计

73 27

b B．52,50 D．54,52

a＝52，得b＝54.

2．博士生和硕士生毕业情况的一个随机样本给出了关于所获取的学位类别与学生性别的分类数据如下表．由表中的数据，可得(

)

8

男

女

总计

A．性别与获取学位类别有关

B．性别与获取学位类别无关

C．性别决定获取学位的类别

D．以上说法都不正确

硕士

162

143

305

博士

27

8

35

总计

189 151 340 解析：选A 由列联表中的数据，得K的观测值为k＝≈7.34>6.635，

2－×340305×35×189×1512所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与获取学位类别有关．而选项C中的表述不恰当，因为性别与获取学位类别不是因果关系，只是统计学上的一种非确定性关系，故不能用“决定”二字描述．

3．独立性检验所采用的思路是：要研究A，B两类变量彼此相关，首先假设这两类变量彼此________．在此假设下构造随机变量K，如果K的观测值较大，那么在一定程度上说明假设________．

答案：无关

不成立

4．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：

①若K的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；

②从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；

③从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．

其中说法正确的是________(填序号)．

解析：K是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．

答案：③

5．在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下推断在天气恶劣的飞机航程中男乘客比女乘客更容易晕机？

2222

9

解：由已知条件得出下面的2×2列联表：

男乘客

女乘客

总计

由公式可得K的观测值

2晕机

24

8

32

不晕机

31

26

57

总计

55 34 89 k＝＝a＋bnad－bc2c＋da＋c2b＋d

－55×34×32×57≈3.689>2.706.

故在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为“在天气恶劣的飞机航程中男乘客比女乘客更容易晕机”．

[课时达标检测] 一、选择题

1．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用的方法中，最为精确的是(

) A．2×2列联表 C．等高条形图 B．独立性检验

D．其他

解析：选B A、C只能直观地看出两个分类变量x与y是否相关，但看不出相关的程度．独立性检验通过计算得出相关的可能性，较为准确．

2．对于分类变量X与Y的随机变量K的观测值k，下列说法正确的是(

) A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小

B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小

C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小

D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大

解析：选B k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大．即k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．故选B. 3．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是(

) A．k≥6.635

C．k≥7.879

B．k＜6.635 D．k＜7.879 2解析：选C 犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.

10

4．(江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是(

) 表1

表2

表3

表4

A．成绩 C．智商

成绩

不及格

及格

总计

性别

男

6

14

20 女

10

22

32 总计

16

36

52 视力

好

差

总计

性别

男

4

16

20 女

12

20

32 总计

16

36

52 智商

偏高

正常

总计

性别

男

8

12

20 女

8

24

32 总计

16

36

52 阅读量

丰富

不丰富

总计

性别

男

14

6

20 女

2

30

32 总计

16

36

52 B．视力

D．阅读量

11

解析：选D 因为k1＝52×8＝，

16×36×32×202－16×36×32×202

k2＝－16×36×32×2022

52×112＝，

16×36×32×20k3＝－16×36×32×2022

52×96＝，

16×36×32×20k4＝－16×36×32×2022

52×408＝，

16×36×32×20则有k4>k2>k3>k1，

所以阅读量与性别关联的可能性最大. 5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

爱好

不爱好

总计

由男

40

20

60

女

20

30

50

总计

60 50 110 算得，观测值K2＝a＋b2nad－bc2c＋da＋c≈7.8.

b＋dk＝－60×50×60×50附表：

P(K2≥k0)

k0

0.050

3.841

0.010

6.635

0.001 10.828 参照附表，得到的正确结论是(

) A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

解析：选A 由k≈7.8及P(K≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性

12 2

别有关”．

二、填空题

6．下列关于K的说法中，正确的有________(填序号)．

①K的值越大，两个分类变量的相关性越大；

②K的计算公式是

222K2＝a＋b2nad－bcc＋da＋cb＋d；

③若求出K＝4＞3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；

④独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H0的推断．

解析：对于①，K的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错；对于②，(ad－bc)应为(ad－bc)，故②错；③④对．

答案：③④

7．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

22

20至40岁

大于40岁

总计

文艺节目

40

15

55

新闻节目

18

27

45

总计

58 42 100 由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：________(填“是”或“否”)．

解析：因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即18d27＝，＝，两者相差较大，所以经直观a＋b58c＋d42b分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．

答案：是

8．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：

心脏搭桥手术

血管清障手术

合计

2又发作过心脏病

39

29

68

未发作过心脏病

157

167

324

合计

196 196 392 试根据上述数据计算K≈________，能否作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有

13

差别的结论________(填“能”或“不能”)．

解析：根据列联表中的数据，可以求得K的观测值k＝≈1.779.

2－68×324×196×1962K2＜2.072的概率为0.85.不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．

答案：1.779 不能

三、解答题

9．巴西医生马廷恩收集犯有各种贪污、受贿罪的官员与廉洁官员寿命的调查资料：500名贪官中有348人的寿命小于平均寿命，152人的寿命大于或等于平均寿命；590名廉洁官员中有93人的寿命小于平均寿命，497人的寿命大于或等于平均寿命．这里，平均寿命是指“当地人均寿命”．能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为官员在经济上是否清廉与他们寿命的长短之间有关系？

解：据题意列2×2列联表如下：

贪官(A)

－廉洁官(A)

总计

短寿(B)

348

93

441

－长寿(B)

152

497

649

总计

500 590 1 090 假设官员是否清廉与他们寿命的长短无关．

由公式得K的观测值

2k＝－500×590×441×6492

≈325.635.

因为325.635＞6.635，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为官员在经济上是否清廉与他们寿命的长短之间是有关系的．

10．某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行1 700次观测，列联表如下：

水位有变化

水位无变化

总计

有震

98

82

180

无震

902

618

1 520

总计

1 000 700 1 700 利用图形判断地下水位的变化与地震的发生是否有关系，并用独立性检验分析是否有充

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分的证据显示二者有关系．

解：相应的等高条形图如图所示．

图中两个阴影条的高分别表示水位有变化和水位无变化的样本中有震的频率．由图可看出，水位有变化样本中有震的频率与水位无变化样本中有震的频率相差不大，因此不能判断地震与水位变化有关系．

根据列联表中的数据，得K的观测值为

2k＝×618－1 000×700×180×1 5202≈1.594<2.072，

所以题中数据没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生有关系，但也不能认为二者无关系．

15