3.1.2 复数的几何意义教学活动设计方案

3．1.2

复数的几何意义

基础梳理

1．复平面．

(1)定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．

(2)实轴：x轴叫做实轴．

(3)虚轴：y轴(除去原点)叫做虚轴．

2．复平面内的点与复数的对应关系．

(1)实轴↔实数．

(2)虚轴(除原点)↔纯虚数．

(3)各象限的点↔非纯虚数．

3．复数的两种几何形式(点Z的横坐标是a，纵坐标是b)．

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)↔点Z(a，b)．

→．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)↔向量OZ4．复数的模．

→的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|＝向量OZa2＋b2．若b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数，它的模等于|a|．

基础自测

1．复数2－3i对应的点在直线(C)

A．y＝x上

B．y＝－x上

C．3x＋2y＝0上

D．2x＋3y＝0上

解析：2－3i对应的点(2，－3)，满足方程3x＋2y＝0.故选C. →＝(0，－3)，则OZ→对应的复数(C)

2．若OZA．等于0

B．－3

C．在虚轴上

D．既不在实轴上，也不在虚轴上

→对应的复数为－3i，在虚轴上．故选C. 解析：OZ3．在复平面内，复数1－i对应的点与原点的距离是2．

解析：1－i对应的点为Z(1，－1)，|OZ|＝2.

（一）复平面

(1)根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi(a、b∈R)，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定．因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系．

(2)基本概念．

①复平面：建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面．

②实轴：坐标系中的x轴叫实轴．在它上面的点都表示实数．

③虚轴：坐标系中的y轴叫虚轴．除去原点外，在它上面的点都表示纯虚数．

注：(1)习惯上，用大写字母Z表示点，小写字母z表示复数．

(2)复数z＝a＋bi用复平面内的点Z(a，b)表示，复平面内点Z的

坐标是(a，b)，而非(a，bi)．例如，复平面内的点(－2，3)表示复数－2＋3i；反之，复数－2＋3i对应复平面内的点的坐标是(－2，3)．

（二）复数的几何意义

(1)复数与点对应．

每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即

复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)．

(2)复数与向量的应用．

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．设复平面内的点Z表→是由点Z唯一确定的；反过来，示复数z＝a＋bi，连接OZ，向量OZ→唯一确定．因此，复数集C与复平面内的向量点Z也可以由向量OZ所成的集合也是一一对应的，即

→. 复数z＝a＋bi一一对应平面向量OZ注：(1)复数与向量建立一一对应关系的前提是向量的起点是原点，若起点不是原点，则复数与向量就不能建立一一对应关系．

(2)→.

常把复数z＝a＋bi说成点Z(a，b)或说成向量OZ(3)规定：相等向量表示同一复数．

（三）复数的模

→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或者|a(1)定义：向量OZ＋bi|. →|＝a2＋b2. (2)求法：|z|＝|OZ(3)模的几何意义：模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点

Z(a，b)到原点(0，0)的距离．

注：(1)实数0与零向量对应，故复数0的模为0.

(2)模相等的两个复数未必相等．例如，|i|＝1＝|－i|，但显然i≠－i.

→的一一对应关1．复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)及向量OZ系如下图所示．

2．由复平面内适合某种条件的点的集合求其对应的复数时，通常是由对应关系列出方程(组)或不等式(组)，求得复数的实部、虚部的取值(范围)来确定所求的复数．

3．复数z＝a＋bi的模|z|＝a2＋b2，从几何意义上理解，表示点Z(a，b)和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示复数z1和z2对应的点Z1和Z2之间的距离．

4．复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用复数模的计算公式进行计算．由于复数的模是一个实数，所以复数的模可以比较大小．

1．复数z＝为(D) A第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2．复数z＝2－i2对应的点在复平面的(B) A．第一象限内

B．实轴上

C．虚轴上

D．第四象限上

3．(2013·重庆卷)已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝5．

2a－a－22i(a∈R)对应的点Z：4．a取何值时，z＝(a－2a－8)＋

a＋13－4i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限5(1)在复平面的x轴的下方？

(2)在直线x＋y＋8＝0上？

a2－a－2解析：(1)点Z在复平面的x轴的下方，则＜0⇒a＜2，a＋1且a≠1.

∴a＜2，且a≠－1时，点Z在复平面的x轴的下方．

(2)点Z在直线x＋y＋8＝0上，则

2a－a－22a－2a－8＋＋8＝0⇒a3－3a－2＝0⇒a2－a－2＝0(a≠a＋1－1)⇒a＝2.

∴a＝2时，点Z在直线x＋y＋8＝0上．

1．复平面中下列哪个点对应的复数是纯虚数(D) A．(1，2)

B．(－3，0) C．(0，0)

D．(0，－2) 2．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(A) A．1或3

B．1

C．3

D．2 3．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴的右侧，则(D) A．a＞，b＞0

B．a＞0，b＜0 C．b＞0，a∈R

D．a＞0，b∈R 4．两个不相等的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为(A) A．a＝－c，b＝d

B．a＝－c，b＝－d

C．a＝c，b＝－d

D．a≠c，b≠d

解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)的对应点为P(a，b)，

z2＝c＋di(c，d∈R)的对应点为Q(c，d)．

∵P与Q关于y轴对称，

∴a＝－c，b＝d. 5．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是(D) A．z1＞z2

B．z1＜z2

C．|z1|＞|z2|

D．|z1|＜|z2|

解析：|z1|＝|5＋3i|＝52＋32＝34，

|z2|＝|5＋4i|＝52＋42＝41，

∵34＜41，∴|z1|＜|z2|. 6．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是(C) A．(1，5)

B．(1，3) C．(1，5)

D．(1，3) 解析：|z|＝a2＋1，∵0

8．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝5，则复数z＝________．

解析：依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝5得a3＋4a2＝5，

解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i

答案：1＋2i或－1－2i 9．已知复数z＝x－2＋yi的模为22，则点(x，y)的轨迹方程为________．

解析：依题意得（x－2）2＋y2＝22，

∴(x－2)2＋y2＝8. 答案：(x－2)2＋y2＝8 10．设复数z＝2m＋(4－m2)i，当实数m取何值时，复数z对应的点：

(1)位于虚轴上？

(2)位于一、三象限上？

(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上？

解析：(1)复数z对应的点位于虚轴上，则

2m＝0，⇒m＝0.

24－m≠0∴m＝0时，复数z对应的点位于虚轴上．

(2)复数z对应的点位于一、三象限，则

2m·(4－m2)＞0⇒m(m－2)(m＋2)＜0⇒m＜－2或0＜m＜2.

∴m＜－2或0＜m＜2时，复数z对应的点位于一、三象限．

(3)|z|＝（2m）2＋（4－m2）2＝4⇒m＝0或m＝±2.

∴m＝0或m＝±2时，复数z对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．

►品味高考

1．(2014·重庆高考)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(B) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

解析：由题意可得复数z＝－2＋i，故在复平面内对应的点为(－2，1)，在第二象限，故选B. 2．(2013·湖北卷)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________．

解析：在复平面内，复数z＝a＋bi与点(a，b)一一对应．

∵点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b)，则复数z2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i