2.1.2 演绎推理优秀教案内容

§2.1.2 演绎推理

【学情分析】：

合情推理（归纳推理和类比推理）的可靠性有待检验，在这种情形下，提出演绎推理就显得水到渠成了．通过演绎推理的学习，让学生对推理有了全新的认识，培养其言之有理、论证有据的习惯，加深对数学思维方法的认识．

【教学目标】：

（1）知识与技能：

了解演绎推理的含义、基本方法；正确地运用演绎推理、进行简单的推理．

（2）过程与方法：

体会运用“三段论”证明问题的方法、规范格式．

（3）情感态度与价值观：

培养学生言之有理、论证有据的习惯；加深对数学思维方法的认识；提高学生的数学思维能力．

【教学重点】：

正确地运用演绎推理进行简单的推理．

【教学难点】：

正确运用“三段论”证明问题．

【教学过程设计】：

一、复习：合情推理

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．

类比推理是特殊到特殊的推理. 从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳．类比――提出猜想．（设计意图：复习旧知识）

二、问题情境

观察与思考：（学生活动）

（1）所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电．

（2）太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，

天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行． （3）一切奇数都不能被2整除，

21是奇数，所以，21不能被2整除．

（4）三角函数都是周期函数，tan是三角函数，所以，tan是周期函数．

（5）两直线平行，同旁内角互补.而∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，

那么∠A+∠B＝180°．

（设计意图：创设问题情景，引入新知）

100100

三、提出问题：

(1)

像这样的推理是合情推理吗？如果不是，它与合情推理有何不同（从推理形式上分析）？

(2)什么是演绎推理？它有什么特点？

(3)什么是三段论？一般模式是什么？

（4）合情推理与演绎推理有什么区别与联系？

（设计意图：学生探索，发现问题，总结特征）

四、建构数学——概念形成

演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（或逻辑推理）．

（设计意图：构建新知，概念形成）

注：

1．演绎推理是由一般到特殊的推理．（与合情推理的区别）

2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

（1）大前提——已知的一般原理；

（2）小前提——所研究的特殊情况；

（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．

三段论的基本格式：

1

大前提：M是P 小前提：S是M 结 论：S是P

3．用集合的观点来理解“三段论”推理：

若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P．

（设计意图：巩固新知，加强认识）

五、数学运用

例1、把P78中的问题恢复成完全三段论的形式．

（1）所有的金属都能导电，

……………………大前提

铀是金属， ……………………小前提

所以，铀能够导电 ……………………结论

（2）因为太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，……………………大前提

而冥王星是太阳系的大行星， ……………………小前提

因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行． ……………………结论

（3）一切奇数都不能被2整除， ……………………大前提

100（2+1）是奇数， ……………………小前提

100所以，（2+1）不能被2整除． ……………………结论

（4）三角函数都是周期函数， ……………………大前提

tan是三角函数， ……………………小前提

所以，tan是周期函数． ……………………结论

（5）∵两直线平行，同旁内角互补，

……………………大前提

而∠A 、∠B是两条直线的同旁内角，

……………………小前提

∴∠A+∠B＝180°．

……………………结论

题型一：把演绎推理写成三段论的形式

1．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形，结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是_______________________________．

解析：由“三段论”的一般模式，可知应补充的大前提是：矩形的对角线相等．

答案：矩形的对角线相等

2．在求函数y＝log2

x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，即a≥0；小前提是log2

x－2有意义；结论是_______．

解析：要使函数有意义，则log2

x－2≥0，解得x≥4，所以函数y＝log2

x－2的定义域是[4，＋∞)．

答案：函数y＝log2

x－2的定义域是[4，＋∞) 类型1

演绎推理在几何证明中的应用

(自主研析) [典例1]如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，

E是垂足，求证：AB的中点M到点D，E的距离相等．

证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，……………………大前提

在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°， ……………………小前提

所以△ABD是直角三角形．

……………………结论

同理，△AEB也是直角三角形．

(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ……………………大前提

而M是RtABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线， ……………………小前提

1所以DM＝AB.

……………………结论

2

2

1同理EM＝AB，所以DM＝EM. 2小试牛刀

[变式训练]如图所示，在空间四边形

ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．

求证：EF∥平面BCD. 证明：三角形的中位线平行于底面，(大前提) 点E、F分别是AB、AD的中点，(小前提)

所以EF∥BD.(结论)

若平面外一条直线平行于平面内一条直线，

则这条直线与此平面平行，(大前提)

EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，(小前提)

EF∥平面BCD.(结论) 类型2

演绎推理在代数证明中的应用

例3、证明函数f(x)x22x在,1上是增函数. 证明：f(x)2x2.当x(,1)时，有1x0，所以f(x)2x22(1x)0. 于是，根据“三段论”得，f(x)x22x在x(,1)内是增函数

小试牛刀

x－21.已知函数f(x)＝ax＋(a>1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

x＋1证明：如果在(－1，＋∞)上f′(x)>0，那么函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数，(大前提)

3因为a>1，所以f′(x)＝axln a＋>0，(小前提)

（x＋1）2所以函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(结论) 2.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．

(1)证明：数列{an

＋1－an}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

(1)证明：因为an＋2＝3an＋1－2an，所以an＋2－an＋1＝2an＋1－2an＝2(an＋1－an)，

an＋2－an＋1所以＝2(n∈N*)而a2－a1＝2.所以数列{an＋1－an}是以2为首项，2为公比的等比数列．

an＋1－an(2)解：由(1)得an＋1－an＝2n(n∈N*)．

所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n1＋2n2＋…＋2＋1＝2n－1(n∈N*)．

－－演绎推理在代数证明中的常见应用是：

(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等；

(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等；

(3)三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明三角恒等式；

(4)数列问题：数列的通项公式，前n项和公式的应用，证明等差数列和等比数列；

(5)不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不等式的应用问题．

3

注：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的.

（设计意图：1．运用新知；2．板书解题详细步骤，规范学生的解题格式．）

题型二：纠正错误，加深理解

思考：分析下面的推理：

因为指数函数yax是增函数，————大前提

1而y是指数函数，————小前提

2x1所以y是增函数. ————结论

2（1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？

提示：推理形式正确，但大前提是错误的（因为当0＜a＜1＝指数函数yax是减函数，所以所得的结论是错误的. x易错点：偷换概念致误

[典例2]如图所示，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD＞∠BCD. [错解]在△ABC中，因为AC>BC，CD⊥AB，AC⊥BC所以AD＞BD，所以∠ACD＞∠BCD. 上述解法正确吗？若不正确，请指出证明过程的错误，并写出正确的证明过程. 易错提示：在本题的证明中，同学们可以正确运用大前提，即在同一个三角形中，大边对大角，但易忽略AD与BD并不是在同一个三角形内的两条边，即小前提不成立，致使推理过程错误．

[正确解答]

因为CD⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝90°，所以∠A＋∠ACD＝∠B＋∠BCD＝90°，

在△ABC中，AC＞BC，所以∠B＞∠A，所以∠ACD＞∠BCD.

试一试

1．对于推理：若a>b，则a2>b2，因为1>－2，所以12>(－2)2，以下说法中正确的是(

) A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．不是演绎推理

解析：本题中大前提是“若a>b，则a2>b2”，小前提是“1>－2”．结论是“12>(－2)2”，显然大前提是错误的．答案：A

2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的_________是错误的．

答案：小前提

3．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数．”结论显然是错误的，这是因为(

) A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．非以上错误

解析：用小前提“S是M”，判断得到的结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．答案：C

[点评] 利用三段论推理时，(一)大前提必须是真命题；(2)小前提是大前提的特殊情形．

[规律总结] 1.判断演绎推理是否正确的方法

(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；

(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；

(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内；

(4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结论是否正确．

4

2．在应用三段论推理中，最常见的错误是偷换概念的错误，即大前提与小前提中同一名称的概念含义不同；其次是推理形式错误，大前提“所有M都是P”，则小前应是“S是M”，而非“S是P”．

（设计意图：通过错例分析，加深理解）

六、小结与反思

1．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

（1）大前提——已知的一般原理；

（2）小前提——所研究的特殊情况；

（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．

三段论的基本格式为：

大前提：M是P

小前提：S是M

结 论：S是P

2．演绎推理与合情推理的主要区别与联系

(1)合情推理与演绎推理的主要区别：归纳和类比都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分_到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．

（设计意图：对比分析，提高认识）

七、布置作业

1.用三段论的形式写出下列演绎推理. (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．

(2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角．

[解析]

(1)每个菱形的对角线都相互垂直大前提

正方形是菱形小前提

正方形的对角线相互垂直结论

(2)若两个角是对顶角则两角相等大前提

∠1和∠2不相等小前提

∠1和∠2不是对顶角结论

2．用“三段论”证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，则AB=DC．

2．证：过点D作DE∥AB，交BC于点E．

∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（大前提）

又∵四边形ABED中DE∥AB，AD∥BE，

（小前提）

∴四边形ABED是平行四边形．

（结论）

∵平行四边形的对边相等．

（大前提）

又∵四边形ABED是平行四边形，

（小前提）

∴AB＝DE．

（结论）

∵两直线平行，同位角相等．

（大前提）

又∵AB∥DE，

（小前提）

∴∠DEC＝∠B．

（结论）

∵两个角若分别和第三个角相等，那么这两个角相等．

（大前提）

又∵∠B＝∠C，∠DEC＝∠B

（小前提）

∴∠DEC＝∠C．

（结论）

∵三角形中等角对等边．

（大前提）

又∵△DEC中有∠DEC＝∠C，

（小前提）

∴DE＝DC．

（结论）

∵两条线段若分别和第三条相等，那么这两线段相等．

（大前提）

又∵AB＝DE，DE＝DC

（小前提）

∴AB=DC．

（结论）

5

课后巩固

1～5：ADACC 1．小偷对警察作如下解释：是我的录象机，我就能打开它．看，我把它打开了，所以它是我的录象机．请问这一推理错在哪里？（ ）

A．大前提 B．小前提

C．结论

D．以上都不是

2．因为相似三角形面积相等，而△ABC与△A1B1C1面积相等，所以△ABC与△A1B1C1相似.上述推理显然不对，这是因为（ ）．

A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误

D．推理形式错误

3．请判断下面的证明，发生错误的是（ ）．

∵一个平面内的一条直线和另一个平面内的两条直线平行，则着两个平面平行，

又∵直线l平面，直线m平面，直线n平面，且l∥m，

∴∥. A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误

D．以上都错误

4．函数yfxxR为奇函数，f1A．0 B．1 C．1,fx2fxf2，则f5（ ）．

25

D．5

25.《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(

) A．类比推理

B．归纳推理

C．演绎推理

D．一次三段论

解析：选C

这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．

6．下面给出一段证明：∵直线l平面，又∵∥，∴l∥. 这段证明的大前提是 ．

P6．两个平行平面中一个平面的任意一条直线平行于另一个平面

7．如图，下面给出一段“三段论”式的证明，写出这段证明的大前提和结论．

CA∵

．（大前提）

B又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB=A．

（小前提）

∴

．（结论）

7．如果一条直线和某一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就和该平面垂直；

BC⊥平面PAB

18．已知函数f(x)＝a－x，若f(x)为奇函数，则a＝________. 2＋11解析：因为奇函数f(x)在x＝0处有定义且f(0)＝0(大前提)，而奇函数f(x)＝a－x的定义域为R(小2＋1前提)，所以f(0)＝a－111＝0(结论)．解得a＝.答案：

222＋10exa9．设a＞0，f(x)＝＋x是R上的偶函数，则a的值为____．

ae11a－ex－x＝0对于一切x∈R恒成立，解析：因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以ea1由此得a－＝0，即a2＝1.又a＞0，所以a＝1.答案：1

ax2＋110．关于函数f(x)＝lg (x≠0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f(x)为增函数；|x|③f(x)的最小值是lg 2；④当－1＜x＜0，或x＞1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中正

6

确结论的序号是________．

x2＋1解析：易知f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确；当x＞0时，f(x)＝lg |x|11x＋；因为在g(x)＝lgx＋在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(0，1)上是＝lg xx减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确；而f(x)有最小值lg 2，所以③正确；④也正确；⑤不正确．

答案：①③④

11.如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF. 证明：因为同位角相等，两直线平行，∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，

所以FD∥AE.因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，

DE∥BA，且FD∥AE，所以四边形AFDE是平行四边形．

因为平行四边形的对边相等，ED和AF是平行四边形AFDE的对边，所以ED＝AF.

12．设a＞0,b＞0,a+b=1,求证：1118．

abab

12．证：∵a+b=1，且a＞0,b＞0, 11111ab11abab22ababababababbababa2242422448

ababab13．用“三段论”证明：通项公式为ancdn的数列an是等差数列. 13．证：如果数列an满足：an1and（常数），那么数列an是等差数列

（大前提）

∵数列an中有an1ancd(n1)(cdn)d（常数），

（小前提）

∴通项公式为ancdn的数列是等差数列．

（结论）

14．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*. (1)证明：数列{an－n}是等比数列；

(2)求数列{an}的前n项和Sn；

(3)证明：不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．

(1)证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，

所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.

又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．

(2)解：由(1)可知an－n＝4n1，所以an＝4n1＋n.

－－4n－1n（n＋1）所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.

32(3)证明：对任意的n∈N*，

4n1－1（n＋1）（n＋2）4n－1n（n＋1）1Sn＋1－4Sn＝＋－4＝－(3n2＋n－4)≤0.

＋32223＋所以不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．

7

ex15．设函数f(x)＝2，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________. x＋ax＋a[答案]

0

因为f(x)的定义域为R，所以x2＋ax＋a≠0恒成立．所以Δ＝a2－4a<0.所以0

即当0

[0，]∪{2}[解析]

由2sin2α＋sin2β＝3sinα得sin2α＋sin2β＝－sin2α＋3sinα

439＝－(sinα－)2＋且sinα≥0，sin2α∈[0,1]．因为0≤sin2β≤1，sin2β＝3sinα－2sin2α，

241所以0≤3sinα－2sin2α≤1.解之得sinα＝1或0≤sinα≤，令y＝sin2α＋sin2β，当sinα＝1时，y＝2. 2155当0≤sinα≤时，0≤y≤.所以sin2α＋sin2β的取值范围是[0，]∪{2}．

24417．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1. (1)求证：|c|≤1.(2)当－1≤x≤1时，求证：－2≤g(x)≤2. [证明]

(1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件，所以|f(0)|≤1.而f(0)＝c，所以|c|≤1. (2)当a>0时，g(x)在[－1,1]上是增函数，所以g(－1)≤g(x)≤g(1)．又g(1)＝a＋b＝f(1)－c，

g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c，所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1，

所以－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2，所以－2≤g(x)≤2.当a<0时，可用类似的方法，证得－2≤g(x)≤2. 当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，g(x)＝f(1)－c，所以－2≤g(x)≤2.综上所述，－2≤g(x)≤2.

高考真题链接

（2017年II理科数学7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则

A．乙可以知道四人的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

【答案】D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．

甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．

（2014年课标I理科14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为

. 【答案】：A 【解析】：∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市

∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.

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