1.3 二项式定理（通用）国家获奖教案

课题

二项式定理应用

●教学目标

（一）教学知识点

1.二项式定理及有关概念，公式. 2.二项式系数性质. （二）能力训练要求

1.了解二项式定理在整除性的判断等方面的应用. 2.掌握解决与二项式定理有关的综合问题的思想方法. （三）德育渗透目标

1.提高综合素质. 2.培养应用能力. ●教学重点

二项式定理及有关概念，公式的应用. ●教学难点

二项式定理与其他学科知识综合问题的分析与求解. ●教学方法

讲练相结合法. ●教学过程

Ⅰ.复习回顾

1n11rnrrnn二项式定理：（a+b）n=C0b+…+Cnab+…+Cnna+Cnanb. －－rnrr通项公式：Tr+1=Cnab.. r二项式系数：Cn. nm二项式系数性质：Cm，即对称性. n=Cn当n当nn2为偶数时，Cn最大. 且最大. n1n1为奇数时，Cn2=Cn21rnn各项系数之和：C0nCnCnCn=2. Ⅱ.讲授新课

［师］请同学们结合例题掌握以上知识. ［例1］已知（x2n）展开式中第五项的系数与第三项的系数比是10∶1,求展开x式中含x的项. 分析：先根据已知条件求出二项式的指数n，然后再求展开式中含x的项.因为题中条件和求解部分都涉及指定项问题，故选用通项公式.

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解:T5T3C2nC4n(x)n2n424()4C4n2xxn62n122(x)22()2C2n2xx4C410n2221Cn2222即:C4n210Cn,化简,得n5n240

n8或n3(舍)2rTr1C8(x)8r()rxrC82r83rx2由题意:令83r1,r22∴展开式中含x的项为第3项

2T3=C8·22x=112x. 22nn［例2］如果1+2C1n+2Cn+…+2Cn=2187 2n求C1n+Cn+…+Cn的值. 22nn分析：∵1+2C1+2C+…+2Cn

nn1nn1n2=C0+22·C2+…+2n·Cnn·1+2Cn·1n·1n

－－=（1+2）n=3n

22nnn解：∵1+2C1n+2Cn+…+2Cn=3

∴3n=2187=37，∴n=7 12nn∵C0n+ Cn+Cn+…+Cn=2

2nn∴C1n+Cn+…+Cn=2－1 277∴原式=C17+C7+…+C7=2－1=127 评述：要注意观察二项式系数的特征. ［例3］求（1+2x－3x2）5展开式中x5的系数. 分析：由于三项式的展开式无现成公式，因此应把它转化为二项式的展开式，然后再求x5的系数. 解法一：∵（1+2x－3x2）=［1+（2x－3x2）］5

=1+5（2x－3x2）+10（2x－3x2）2+10（2x－3x2）3+5（2x－3x2）4+（2x－3x2）5

=1+5x（2－3x）+10x2（2－3x）2+10x3（2－3x）3+5x4（2－3x）4+x5（2－3x）5

∴x5的系数为上式各项中含x5的项系数和

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23即：10C3·21·（－3）2+5C1（－3）1+25=92. 4·2·解法二：∵（1+2x－3x2）5=（1－x）5·（1+3x）5

=（1－5x+10x2－10x3+5x4－x5）·（1+15x+90x2+270x3+405x4+243x5）

∴展开式中x5的系数为243－5·405+270·10－10·90+5·15－1=92. Ⅲ.课堂练习

求（x3x）9的展开式中的有理项. 27r6分析：因为只需求出展开式中的有理项，所以可运用通项公式求解. 解:Tr1C(x)其中r=0,1,2,…,9 ∴由题意得r99r(x)(1)Cx3rrr9

27r应为整数

6r=0,1,2,…,9 ∴经检验，知r=3和r=9 44933∴展开式中的有理项为T4C3x84x,TCxx.

9109Ⅳ.课时小结

应熟练掌握二项式定理及有关公式、性质的应用.基本掌握解决与此有关的问题的思想方法. Ⅴ.课后作业

课本P37习题4、5、6.

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