1.3 实习作业优质课教学设计

1.1.2 余弦定理

1．余弦定理

三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2b2c22bccosA，b2______________，c2______________.

2．余弦定理的推论

从余弦定理，可以得到它的推论

b2c2a2，

cosA2bccosB________________；

cosC________________．

3．余弦定理与勾股定理

从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．

4．正弦定理与余弦定理的关系

（1）正弦定理和余弦定理都从不同的角度刻画了三角形边角之间的数量关系，它们是解决斜三角形问题的两个最重要的定理．学！

（2）在同一个三角形中，正弦定理和余弦定理又是等价的，即由正弦定理可以推出余弦定理，由余弦定理同样也可以推出正弦定理（同学们可以自己尝试证明一下）．

因此，在解三角形时，凡是能用正弦定理求解的三角形，必能用余弦定理求

解，反之亦然．

我们把正弦定理和余弦定理结合起来应用，就能很好地解决三角形的问题．

知识参考答案：

1．a2c22accosB

a2b22abcosC

c2a2b2a2b2c22．

2ca2ab3．直角

钝角

锐角

—重点

—难点

—易错

利用余弦定理解三角形

综合运用正、余弦定理解三角形及三角形形状的判断

解三角形时，除了保证三边长均为正数，还应判断三边能否构成三角形

一．解三角形问题的常见类型与解法

正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素（三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素），如果其中三个元素是已知的（至少要有一个元素是边），那么这个三角形一定可解．斜三角形的解法可以归纳为以下四种类型：

1．已知两角及其中一角的对边，如已知A,B,a【一解】（上节内容，此处不再赘述）

2．已知两边及其夹角，如已知a,b,C【一解】

例1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝5，b＝4，C＝120°，则cosA________．

【答案】1361

122【解析】由余弦定理，得c2a2b22abcosC=52+42-254cos120=61，故c61，

b2c2a24261521361所以cosA．

2bc1222461【解题技巧】已知两边及其夹角的解题步骤：

222bca（1）由cab2abcosC求c；（2）由cosA求A；（3）由2bc222B180AC求B．

【名师点睛】求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论（因为正弦函数在区间(0,)上是不单调的），应先求较小边所对的角，因为它必是锐角．

3．已知三边【一解】

例2在△ABC中，已知a＝13，b＝2，c＝2，则A_________．

【答案】105

c2a2b222(13)2(2)23=，【解析】由余弦定理的推论，得cosB

2ca222(13)所以B30，

a2b2c2(13)2(2)2222=，由余弦定理的推论，得cosC所以2ab22(13)2C45，

所以A180BC105．

【解题技巧】此类问题可以连续用余弦定理的推论求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由ABC180求第三个角；或者由余弦定理的推论求出一

个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但应先求较小边所对的角（因为较小的角必定为锐角）．

4．已知两边及其中一边的对角，如已知a,b,B【两解、一解或无解】

例3已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a8,b7,B60，则c_________．

【答案】3或5

【解析】方法1：

利用正弦定理求解，此处不再赘述．

方法2：由余弦定理b2a2c22accosB，得72=82c228ccos60，

整理得c28c150,解得c3或5．

【解题技巧】此类问题的求解步骤：

方法1：①根据正弦定理经讨论求A；②求出A后，由ABC180求C；③由ac求c；

sinAsinC方法2：可以根据余弦定理，列出以边c为未知数的一元二次方程根据一元二次方程的解法求边c，然后应用正弦定c2(2acosB)c(a2b2)0，理或余弦定理求其他元素．

二

判断三角形的形状

判断三角形的形状有以下几种思路：

（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”；

（2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”．

例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2acosBc，则△ABC是

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

【答案】B

D．等腰或直角三角形

a2c2b2【解析】方法1（化角为边）：由余弦定理可得2a即a2b2,ab.

c，2ac故△ABC为等腰三角形．故选B．

方法2（化边为角）：由正弦定理可得2sinAcosBsinC，

又ABC180，所以2sinAcosBsinCsin(180AB)sin(AB)，

化简可得sinAcosBcosAsinB0,即sin(AB)0，

由AB，可得AB0，即AB，故△ABC为等腰三角形．故选B．

三

忽略三边不能构成三角形导致错误

例5 已知a,2a1,2a1是钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．

a01【错解】因为a,2a1,2a1是三角形的三边，所以2a10,即a，

22a10所以2a1是三角形的最大边，设其所对的角为（钝角），

a2(2a1)2(2a1)20，化简得a28a0，解得0a8．

则cos2a(2a1)111，所以a8．故实数a的取值范围为(,8)．

2221【错因分析】错解中a只能保证a,2a1,2a1都是正数，而要表示三角形的2又a三边，还需满足三角形的隐含条件“两边之和大于等三边”．

a01【正解】因为a,2a1,2a1是三角形的三边，所以2a10，即a22a10所以2a1是三角形的最大边，设其所对的角为（钝角），

①，

a2(2a1)2(2a1)20，化简得a28a0，解得0a8则cos2a(2a1)a2a12a1要使a,2a1,2a1构成三角形，需满足a2a12a1，即a22a12a1a综合①②③，可得2a8．故实数a的取值范围为(2,8)．

②．

③．

【名师点睛】在利用余弦定理求三角形的三边时，除了要保证三边长均为正数，还要判断一下三边能否构成三角形．