1.3 实习作业教案2

第2讲

数列的求和及综合应用

高考定位

1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透

教学目标： 1、熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式

2、熟练掌握等差、等比数列求和的几种常见方法

3、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决与前n项和相关的问题

4、熟练掌握分组求和、错位相减法求和、裂项相消法求和. 教学过程

1．等差数列的前n项和公式复习

Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－2d. 等比数列的前n项和公式复习

na，q＝1，Sn＝a－anqa－qn＝1－q1－q111，q≠1.

2、知识拓展

数列求和的常用方法 (1)公式法 等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和. (2)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (3)并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. (4)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (5)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (6)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广. （主讲后三种方法）

题型一

分组转化法求和

11111.已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn为(

) 248161A.n＋1－n 221B.n＋2－n

221C.n＋1－n－1 221D.n＋2－n－1

221解析

an＝(2n－1)＋n，

2111－nn（1＋2n－1）2221∴Sn＝＋＝n＋1－n. 2121－2答案

A 2、已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n2，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2a＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．

n解

(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n2－n－2＋n－2＝n. a1也满足an＝n，

故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．

记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，

则A＝－22n＝22n＋1－2，

1－2B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 引申探究

本例(2)中，求数列{bn}的前n项和Tn. 解

由(1)知bn＝2n＋(－1)n·n. 当n为偶数时，

Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n] 2－2n＋1n＝＋

1－22＝2＋－2；

2当n为奇数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n] n＋1n

＝2n＋1－2＋n＋1n－12－n

＝2－－. 22n5∴T＝2n2n＋1＋－2，n为偶数，2n＋1n－－，n为奇数.22n5

探究提高 在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想. 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和. 在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式. 题型二

裂项相消法求和

191、数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系n（n＋1）10中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为(

) A.－10 C.10 B.－9 D.9 111解析

由于an＝＝－. n（n＋1）nn＋1111111＝1－∴Sn＝1－＋－＋…＋－. 223nn＋1n＋119因此1－＝，所以n＝9. n＋110所以直线方程为10x＋y＋9＝0. 令x＝0，得y＝－9，所以在y轴上的截距为－9. 答案

B

练习

2、若数列an＝1/n(n+2)，求其前n项之和

探究提高

1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项. 2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 3.裂项求和的常见技巧

1111111. (1)＝－.(2)＝－n（n＋1）nn＋1n（n＋k）knn＋k1111. －(3)2＝n－1n＋1n－121111. －(4)2＝4n－122n－12n＋1

题型三 错位相减求和

(2017·衡阳模拟)已知等差数列{an}满足：an＋1>an(n∈N*)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且an＋2log2bn＝－1. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 解

(1)设d为等差数列{an}的公差，且d>0，

由a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，分别加上1，1，3成等比数列，

得(2＋d)2＝2(4＋2d)，

因为d>0，所以d＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，

又因为an＝－1－2log2bn，

1所以log2bn＝－n即bn＝n. 21352n－1(2)Tn＝1＋2＋3＋…＋n，①

222211352n－1Tn＝2＋3＋4＋…＋n＋1，②

22222①－②，得

11112n－111Tn＝＋2×2＋3＋4＋…＋n－n＋1

22222221121－n－1222n－11＝＋2×－n＋1

2121－2112n－132n＋3＝＋1－n－1－n＋1＝－n＋1. 222222n＋3所以Tn＝3－n. 2

探究提高 1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解. 2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式. 归纳总结

(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.

(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然c后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如aann＋1(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.