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第五节

向心加速度

【情景对话】

向心加速度指向地心吗？

地球总是绕自转轴自西向东的转动，精密的天文观测表明，地球自转一周耗时23小时56分，自转的平均角速度为

7.292×10弧度／秒，在地球赤道上的自转线速度为 465米／秒。约每隔10年自转周期会增加或者减少千分之三至千分之四秒。试问，在北京的人隨地球自转的向心加速度方向是指向地心吗？

-5【交流】在北京的人隨地球自转的向心加速度方向不是指向地心方向，而是指向如图中的O’点方向。

【自主建构】

一、向心加速度

1．定

义：做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度称为向心加速度．

2．物理意义：向心加速度仅描述匀速圆周运动的速度方向的变化快慢，不描述匀速圆周运动的速度大小的变化快慢．

3．方

向：向心加速度指向圆周的圆心位置．

42r22224．大

小：向心加速度的大小的计算式为：a==r==．

4rf2Tr

【互动探究】

一、对向心加速度的理解

1

【例1】关于向心加速度的下列说法正确的是（

）

A．向心加速度越大，物体速率变化得越快

B．向心加速度的大小与轨道半径成反比

C．向心加速度的方向始终与速度方向垂直

D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量

【答案】C 【解析】向心加速度只改变速度方向，故A不正确．向心加速度可用an2r或an2r表示，不知线速度和角速度的变化情况，无法确定向心加速度a与轨道半径的关系，故B不正确．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，在圆周运动中始终指向圆心．方向在不断变化，不是恒量，故匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动，故C正确，D错误．

【点悟】

明确向心加速度的含义，它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向．

二、向心加速度大小的求解

【例2】一个小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度的大小为a，则下列说法正确的有

（

）

A．小球运动的角速度a

RB．小球在时间t内通过的路程staR

C．小球做匀速圆周运动的周期TR

aD．小球在时间t内可能发生的最大位移为2R

【答案】ABD 【解析】由aR可得：22a；由a可得：aR，所以t时间内通过的路RR42R程sttaR；由aR2R，可知：T2，故C错；位移由初位置指Ta2向末位置的有向线段来描述，对于做圆周运动的小球而言，位移大小即为圆周上两点间的距离，最大值为2R，D正确．正确答案为ABD．

2

【点悟】本题考查了向心加速度的多种表达形式，解题时除了熟记这些表达式外，还应注意选择最适当的形式．一般来说，应选择所求量或已知量的对应形式进行分析与求解．

三、传动装置中的向心加速度

【例3】如图所示，一大轮通过皮带带动小轮转动，皮带和两轮之间无滑动．大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的21．当大轮边缘上P点的向心加速3度是12m/s时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多大？

【答案】4m/s；24m/s

【解析】同一轮子上的S点和P点的角速度相同，即SP．

由向心加速度公式aR222可得：aSRS（a正比于R），故aPRPaSaP

RS112m/s24m/s2．

RP3又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮缘上各点的线速度大小相等，即PQ．

aPRQ由向心加速度公式a可得：（a反比于R），故RaQRP2aQaPRP212m/s224m/s2．

RQ1【点悟】应注意向心加速度公式a2RR2的应用，在一定的条件下，方可认为物体的向心加速度a与R成反比；而在一定的情况下，可认为向心加速度a与R成正比．因为向心加速度的每个公式都涉及三个物理量的变化关系，所以必须在某一物理量不变时，才可以判断另外两个物理量之间的关系．

【隨堂反馈】

（时间5分钟，每小题20分，共100分）

计分_______ 1．在圆周运动中，只有______圆周运动的加速度才时刻指向圆心，对______圆周运动而言，其加速度不一定指向圆心．

3

【答案】匀速；变速

2．甲、乙两质点绕同一圆心做匀速圆周运动，甲的转动半径是乙的3/4，当甲转60周时，乙转45周，甲、乙两质点的周期之比为________，向心加速度之比为____

．

【答案】3:4；4:3

【解析】甲、乙两质点做匀速圆周运动的周期之比为T乙45/603/4．由甲/T22)/(r乙T甲)(342)/(432)a2r42r/T2得：a甲/a乙(r甲T乙4．

33．做匀速圆周运动的物体，线速度为10m/s，物体从A到B速度增量的大小为10m/s，已知A、B间弧长是3.14m，则A、B弧长所对的圆心角为

，圆的半径为

，向心加速度的大小为

，向心加速度的方向为___________的方向．

【答案】2；3m；33.3m/s；指向圆心

34．关于向心加速度，下列说法中正确的是（

）

A．它是描述角速度变化快慢的物理量

B．它是描述线速度大小变化快慢的物理量

C．它是描述线速度方向变化快慢的物理量

D．它是描述角速度方向变化快慢的物理量

【答案】

C 【解析】从匀速圆周运动的特点入手思考。匀速圆周运动其角速度大小不变，角速度的方向也是不变的。线速度方向总是与半径垂直，半径转过多少度，线速度的方向就改变多少度．

5．下面四个公式中，an表示匀速圆周运动的向心加速度，v表示匀速圆周运动的线速度，ω表示匀速圆周运动的角速度，T表示周期，r表示匀速圆周运动的半径．

v24222①an=

②an=ωr

③an=ωv

④an=T

rr则四个式子中正确的是（

）

A．①②③

【答案】A

B．②③④

C．①③④

D．①②④

【分层作业】

A组

4

1．关于向心加速度，下列说法正确的是（

）

A．匀速圆周运动的向心加速度是不变的

B．匀速圆周运动的向心加速度的大小是不变的

C．圆周运动的向心加速度大小是不变的

D．圆周运动的物体，其加速度就是向心加速度. 【答案】B 【解析】匀速圆周运动的向心加速度的大小不变而方向不断改变，故A错，B对；如果不v2是匀速圆周运动而是变速圆周运动，由an可知，向心加速度的大小是可以改变的，Cr错；对变速圆周运动，其加速度是改变速度方向的向心加速度和改变速度大小的切向加速度的合加速度，故D错．

2．关于做匀速圆周运动的质点，说法正确的是（

）

A．由an = v2 / r可知a与r成反比

C．由= v/r可知与r成反比

【答案】D 【解析】只有在线速度大小一定的条件下，才能由an = v2 / r得a与r成反比，由= v/r得与r成反比，所以A、C都错；只有在角速度一定的条件下，才能由an=2r得an与r成正比，所以B错；D是正确的．

3．做匀速圆周运动的物体，其加速度的数值一定（

）

A．跟半径成正比

B．跟线速度的平方成正比

C．跟角速度的平方成正比

D．跟线速度和角速度的乘积成正比

【答案】D

B．由an =2r可知a与r成正比

D．由= 2n可知与转速n成正比

42r2r，由此可知：当一【解析】匀速圆周运动的加速度大小为arT22

5

定时，a与r成正比，故A错；当r一定时，a与成正比，a与也成正比，B、C错；22a与、的乘积相等，故D正确．

4．关于地球表面上的物体随地球自转的向心加速度的大小，下列说法中正确的是

（

）

A．在赤道上向心加速度最小

B．在两极向心加速度最大

C．在地球上各处，向心加速度一样大

D．随着纬度的升高，向心加速度的值逐渐减小

【答案】D 【解析】地球自转，角速度恒定，据ar知，r，因赤道上的物体圆周运动的半径为最大，故对应的向心加速度最大，选项A错误；因两极的物体圆周运动的半径为最小，故对应的向心加速度最小，选项B错误；随着纬度的升高，物体圆周运动的半径减小，向心加速度的值逐渐减小，选项D正确．

5．甲、乙两小球均在水平面上做匀速圆周运动，甲球的轨道半径是乙球轨道半径的2倍，甲球的转速是30r/min，乙球的转速是15r/min，则两小球的向心加速度之比为（

）

A．1:1

【答案】C. 【解析】从题意可知，甲的运动半径是乙的2倍，即r甲=2r乙；甲的转速是乙的2倍，则可

B．2:1

C．8:1

D．4:1 2a甲r甲甲8知甲2乙，由anr可知，．

2a乙r乙乙122

6．A、B两个质点分别作匀速圆周运动，如果在相等的时间内，它们通过的弧长之比为

lA:lB=2:3，而通过的角度之比A:B3:2，则它们的周期之比为TA:TB=

，向心加速度之比为aA:aB=

．

【答案】2:3；1:1. 【解析】由于相等时间内通过的角度之比为A:B3:2，则A:B3:2，由于周期T

2，可知T与成反比，则TA:TB2:3；由于相等时间内通过的弧长之比为6

lA:lB2:3，则线速度vA:vB2:3，而A:B3:2，由vrr2rAvAB4aArAA4322，再由anr可知21．

2rBAvB9aBrBB92v可知，

7．物体以30m/s的速率沿半径为60m的圆轨道运动，当物体从A运动到B时，物体和圆心连线转过的角度为90°，试求：

（1）此过程中物体的位移大小；

（2）此过程物体通过的路程；

（3）物体运动的向心加速度的大小．

【答案】（1）602m

（2）30m

（3）15m/s

【解析】（1）如图所示，由勾股定理可知从A到B的位移是sAB602602m602m；（2）过的路程为2B sAB

O l A 2r2601m30m；

圆弧长，即l444v2302m/s215m/s2．

（3）向心加速度大小为anr60

B组

8．如图所示，一个质点做匀速圆周运动，其半径为2m，周期为3.14s，求质点从A点转过90到达B点的速度变化量．

【答案】42m/s 方向斜向左下方，与B方向成45角

【解析】由2r得：T23.142ABm/s4m/s．将初速度A平移到B点，作出速度变化图可得，3.1422则AB42m/s，其方向斜向左下方，与B方向成45角．

9、如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑．图中有A、B、C三点，这三点所在处半径rA＞rB = rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC关系是（

）

A．aA = aB = aC

C．aC＜aA＜aB

B．aC＞aA＞aB

D．aC = aB＞aA

7

【答案】C 【解析】由传动规律可知，A、B两点是与同一皮带接触的轮缘上的点，线速度大小相等，由an= v2

/ r可知an与r成反比，故aA＜aB；又由于A、C两点处于同一转动物体上，因此它们的角速度相等，由an =2r可知a与r成正比，故aC＜aA．综上所述，选C．

10．如图所示，定滑轮的半径R=2 cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a2m/s做匀加速运动，在重物由静止下落l m的瞬间，2滑轮边缘上的点的角速度

rad/s，向心加速度a

m/s．（线2与滑轮不打滑）

【答案】100；200

2【解析】由题意知，滑轮边缘上的点的线速度与物体的速度相等．由推论公式2as得：2m/s，又因为r，所以100rad/s,

a200m/s2．

8