2.基本不等式课堂实录

基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

（1）若a,bR，则a2b22ab

（2）若a,bR，则aba2b22

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若a,bR*，则ab2ab

3、基本不等式的两个重要变形

（1）若a,bR*，则ab2ab

（2）若a,bR*ab2，则ab

2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；

当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当ab时取“=”

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论

（1）若x0，则x1x2 (当且仅当x1时取“=”）

（2）若x0，则x1x2 (当且仅当x1时取“=”）

（3）若ab0，则abba2 (当且仅当ab时取“=”）

（4）若a,bR，则(ab2ab2ab22)2

（5）若a,bR*，则1aba2b21ab

a122b特别说明：以上不等式中，当且仅当ab时取“=”

6、柯西不等式 （1）若a,b,c,dR，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2

（2）若a1,a2,a3,b1,b2,b3R，则有：

(a2a22222212a3)(1b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3)

（3）设a1,a2,,an与b1,b2,,bn是两组实数，则有

(a221a2a2n)(b221b2b2n)(a1b1a2b2anbn)2

二、题型分析

题型一：利用基本不等式证明不等式

1、设a,b均为正数，证明不等式:ab≥211

ab

2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

3、已知abc1，求证：a2b2c213

4、已知a,b,cR，且abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8ab

c5、已知a,b,cR，且abc1，求证：1a1111bc1

8

6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲设a,b,c均为正数,且abc1,证明: (Ⅰ)abbcca1a2b2c23; (Ⅱ)bca1.

7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲

已知ab0，求证:2a3b32ab2a2b

题型二：利用不等式求函数值域

1、求下列函数的值域

（1）y3x212x2

（2）yx(4x)

（3）yx1x(x0)

（4）yx1x(x0)

题型三：利用不等式求最值

（一）（凑项）

1、已知x2，求函数y2x442x4的最小值；

变式1：已知x2，求函数y2x42x4的最小值；

变式2：已知x2，求函数y2x42x4的最大值；

练习：1、已知x54，求函数y4x214x5的最小值；

2、已知x5，求函数y4x2144x5的最大值；

题型四：利用不等式求最值

（二）（凑系数）

1、当时，求yx(82x)的最大值；

变式1：当时，求y4x(82x)的最大值；

变式2：设0x32，求函数y4x(32x)的最大值。

2、若0x2，求yx(63x)的最大值；

变式：若0x4，求yx(82x)的最大值；

3、求函数y2x152x(152x2)的最大值；

（提示：平方，利用基本不等式）

变式：求函数y4x3114x(3114x4)的最大值；

题型五：巧用“1”的代换求最值问题

1、已知a,b0,a2b1，求t11ab的最小值；

法一：

法二：

变式1：已知a,b0,a2b2，求t11ab的最小值；

变式2：已知x,y0,2x8y1，求xy的最小值；

变式3：已知x,y0，且1x1y9，求xy的最小值。

变式4：已知x,y0，且1x9y4，求xy的最小值；

变式5：

11（1）若x,y0且2xy1，求的最小值；

xy（2）若a,b,x,yR且ab1，求xx28(x1)的值域；

变式：求函数yx1

y的最小值；

xy

变式6：已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项a14m,an，使得aman4a1，求mn的最小值；

题型六：分离换元法求最值（了解）

1、求函数yx27x10x1(x1)的值域；

2、求函数yx22x5的最大值；（提示：换元法）

变式：求函数yx14x9的最大值；

题型七：基本不等式的综合应用

1、已知loga2alog2b1，求39b的最小值

2、（2009天津）已知a,b0，求112ab的最小值；

变式1：已知a,b0，满足abab3，求ab范围；

ab

变式1：（2010四川）如果ab0，求关于a,b的表达式a21ab1a(ab)的最小值；

变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当a0,a1时，函数yloga(x1)1的图像恒过定点A，若点A在直线mxyn0上，求4m2n的最小值；

3、已知x,y0，x2y2xy8，求x2y最小值；

变式2：（2010山东）已知x,y0，12x112y3，求xy最大值；（提示：通分或三角换元）

变式3：（2011浙江）已知x,y0，x2y2xy1，求xy最大值；

4、（2013年山东（理））设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0,则当xyz取得最大值时,212xyz的最大值为（ ）

A．0

B．1 C．

94 D．3

（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）

,y,z是正数，满足x2y3z0，求y2变式：设xxz的最小值；

题型八：利用基本不等式求参数范围

1、（2012沈阳检测）已知x,y0，且(xy)(1axy)9恒成立，求正实数a的最小值；

2、已知xyz0且1xy1yznxz恒成立，如果nN，求n的最大值；（参考：4）

（提示：分离参数，换元法）

变式：已知a,b0满则1a4b2，若abc恒成立，求c的取值范围；

题型九：利用柯西不等式求最值

1、二维柯西不等式 (a,b,c,dR,当且仅当acbd；即adbc时等号成立)

若a,b,c,dR，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2

2、二维形式的柯西不等式的变式

(1)a2b2c2d2acbd

(a,b,c,dR,当且仅当acbd；即adbc时等号成立)

(2)a2b2c2d2acbd(a,b,c,dR,当且仅当acbd；即adbc时等号成立)

(3)(ab)(cd)(acbd)2

(a,b,c,d0,当且仅当acbd；即adbc时等号成立)

3、二维形式的柯西不等式的向量形式



(当且仅当0,或存在实数k,使ak时,等号成立)

4、三维柯西不等式

若a1,a2,a3,b1,b2,b3R，则有：

(a22221a2a23)(1b1b2b23)(a1b1a2b2a3b3)2

(abaaai,iR,当且仅当1b2b3时等号成立)

12b35、一般n维柯西不等式

设a1,a2,,an与b1,b2,,bn是两组实数，则有: (a221a22an)(b21b22b2n)(a1b1a2b2a2nbn)

(ai,biR,当且仅当a1ba2an时等号成立)

1b2bn

题型分析

题型一：利用柯西不等式一般形式求最值

1、设x,y,zR，若x2y2z24，则x2y2z的最小值为

时，(x,y,z)

析：(x2y2z)2(x2y2z2)[12(2)222]

4936 ∴x2y2z最小值为6

此时x1yz622212(2)2223 ∴

x23，y43，z43

2、设x,y,zR，2xy2z6，求x2y2z2的最小值m，并求此时x,y,z之值。

Ans：m4;(x,y,z)(4243,3,3)

3、设x,y,zR，2x3yz3，求x2(y1)2z2之最小值为 ，此时y （析：2x3yz32x3(y1)z0）

4、（2013年湖南卷（理））已知a,b,c,a2b3c6,

则a24b29c2的最小值是 (Ans:12)

5、（2013年湖北卷（理））设x,y,zR,且满222足:xyz1,x2y3z14,求xyz的值；

6、求2sin3cossincoscos

的最大值与最ns小值。（A：最大值为22，最小值为

22）

析：令a

 (2sin，3cos， cos)，b (1，sin，cos)