二 用数学归纳法证明不等式教学设计(第一课时)

§4.2

用数学归纳法证明不等式举例

学科：数学

年级：高三 班级：高三（10）

主备教师：刘虎龙 参与教师：史永强、李小娟 审定教师：包弘 一、教材分析 数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要.数学归纳法的证明过程中展现的推理与逻辑能让学生体会数学的严谨与规范，学习数学归纳法后学生对数列和不等式证明等问题会有新的解决思路和方法. 二、教学目标 1.知识与技能：

（1）使学生初步了解数学归纳法，理解数学归纳法的基本原理. （2）掌握数学归纳法证明题目的步骤和适用范围，能够使用数学归纳法证明不等式. 2.过程与方法：

（1）通过类比多米诺骨牌游戏，使学生进一步理解数学归纳法，并培养在观察、归纳、猜想中逐步解决问题的能力. （2）让学生经历发现问题，提出问题，分析问题，解决问题的过程，形成能力并应用

于今后的学习中. 3.情感、态度与价值观：

（1）通过对数学归纳法的探究培养学生严谨的，实事求是的科学态度和积极思考，大胆质疑的学习氛围. （2）通过有限到无限的这种跨越，体会数学证明的美感与用途.

三、教学重点：了解数学归纳法的原理及其使用范围和基本步骤、证明不等式技巧.

四、教学难点：

（1）认识数学归纳法的证明思路. （2）运用数学归纳法时，在“假设与递推”的步骤中发现具体问题中的递推关系.

五、教学准备

1.课时安排：2课时 2.学情分析：学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（例1的公式），但学生只是停留在认知阶段；另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具

有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法证明不等式奠定了一定基础.

3.教具选择：多媒体 六、教学方法：讲练结合

合作探究法

七、教学过程

1.自主导学：

一.情景导入

情景一：多米诺骨牌操作实验

<师>思考：通过计算下面式子，你能猜想出1357(1)n(2n1)的结果吗？证明你的结论. 13___

135___

1357___

13579___

<生> 请同学集体回答，并归纳出猜想. <师> 引导学生分析证明1357(1)(2n1)(1)n这一命题的特征

及解决方案

问题特征：①要证等式在n为任何正整数时都成立. ②正整数有无穷多个，我们无法一一验证. 解决方案：必须寻找一种用有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法.由此引出课题，并板书课题——数学归纳法

情景二：

<师>请同学们回顾学习过的证明等式或不等式的方法有哪些？

<生>

请一名学生回答该问题.

比较法

分析法

综合法

数学归纳法

反证法

nn2.合作探究

（1）分组探究：

（一）探究一：观看多米诺骨牌游戏视频思考以下问题：

<师> 问题1：若第块骨牌倒下，是否能保证所有骨牌都倒下？

问题2：若前块骨牌倒下，后一个骨牌是如何倒下的？

<生> 集体回答前两个问题. <师> 问题3：要保证每一块骨牌都倒下，必须满足什么条件？

<生> 通过思考得到以下结论：

条件1：第一个骨牌必须倒下；

条件2：任意相邻的两个骨牌，前一个骨牌倒下一定会撞到后一个骨牌. （二）提炼原理，形成概念

<师> 数学归纳法的定义（板书）

一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数都成立时，可以用以

下两个步骤：（1）证明当n取第一个值n0

(例如n01) 时命题成立; （2）假设当nk(kN,kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立. 最后由（1）（2）得出结论该命题对于不小于n0的所有正整数都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法. <生> 请一名同学大声朗读定义. <师> 框图展示数学归纳法的具体步骤.（见ppT投影）

（2）教师点拨：探究一个数学问题的新的证明方法

在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法如不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方如

、

、

、

等结合进行. （3）经典例题讲解

例题1

证明不等式sinnnsin(nN).

例题2

证明贝努利（Bernoulli）不等式：

如果x是实数，且x1,x0,n为大于1的自然数，那么有

(1x)1nx.

n3.巩固训练

课堂练习：

用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n，不等式111n1都22223nn成立. <生> 请一名学生板演，并简单讲解（根据时间备选）

（三）总结升华

<师> 结合板书，PPT进行课堂内容总结与升华.数学归纳法用有限的步骤（1）奠基和（2）

递推，取代了难以实现的无限验证，实现了由无限到有限的飞跃！

4.拓展延伸

在数学研究中，人们常用贝努利不等式把二项式的乘方(1x)n缩小为简单的1+nx的形式.这在数值估计和放缩法证明不等式中可以发挥作用.例如，当x是实数，且x1,x0,由贝努利不等式不难得到

(1对一切不小于2的正整数n成立. .5.师生合作总结：数学归纳法用有限的步骤（1）奠基和（2）递推，取代了难以实现的无限验证，实现了由无限到有限的飞跃！

xnnx)1

1x1x八、课外作业：

教材53页习题4.12— 1，4题

九、板书设计：

用数学归纳法证明不等式举例

1、数学归纳法的概念：

2、应注意的问题：

3、例题讲解：

4、小结

十、教学反思：（注：教学实施后写）

通过上完本节课，我感觉到本节课课前的设计还存在一定改进之处，内容安排有点稍多，但是层次设计还算分明，能让学生们很好的理解数学归纳法.只是部分学生对数学归纳法证明不等式的应用和相应证明过程的变形还存在一定困难，对数学归纳法的严谨思维过程的理解还掌握得不是太透彻，需要老师找出部分练习进一步加强.