探究与发现 组合数的两个性质名师教学视频（文字实录）

2017年河北省高中数学教师说课比赛教学设计

课题：排列（一）

说

课

人： 田 颖

工作单位：石家庄二中

联系电话：18231106666

时 间：

2017.12.11

坚毅

勤奋诚朴

健美

1

课题：排列（一）

石家庄二中

田颖

1.为什么？

1.1学情分析

（1）喜欢数学，思维灵活，领悟力强，乐于探究，具有良好的合作交流基础；基础扎实，思维严谨，逻辑推理能力强，能够使用比较准确的数学语言描述问题. （2）已经具备了用分步乘法计数原理和分类加法计数原理研究计数问题的基础，也有了通过枚举法和树形图解决问题的经验.

（3）具备某些特征的计数问题的研究方法需要优化、多样化，通过多角度看问题提升思维的灵活性的能力需要提升.

1.2理论指导

学科核心素养：数学是研究数量关系和图形关系的学科，高中数学课程标准倡导以学

生全面发展为本，依靠数学的内在力量、用数学的方式，调动学生的学习兴趣与内部动机，培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、运算能力、数据分析等学科核心素养.教师应从培养创新人才出发，在理解数学、理解学生、理解教学的实践中，围绕“数量关系”、“空间形式”、“数形结合”和“公理化思想”开展教学活动，让学生认识数学本源性问题. 建构主义理论认为，学生在面对问题时，会基于以往的经验形成对问题的解释（假设），

倡导通过协商和辩论来考察各种假设并加以验证.该理论强调合作学习的重要性，认为学习者群体的思维与智慧可以被整个群体所共享，共同完成对所学知识的“意义建构”. 1.3教材分析

学生已经学习了两个计数原理，并利用计数原理解决了与日常生活密切相关的一些计数问题。在此基础上，本节课处于一个承上启下的地位，排列数公式的推导是分步乘法计数原理的一个重要应用，同时排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。排列模型的构建，承前启后，是“旧问题，新工具，新理解”，

在概念形成、概念应用中培养数学抽象、逻辑推理、数学建模等能力. 本节课是概念课，概念的获得实际上是掌握同类事物的共同关键特征。概念课的关键是从学生的认知水平出发，让学生参与概念本质特征的概括过程。在概念应用的过程中，是对概念的强化，同时应用概念的过程中，在体验、对比、反思中领悟通过多角度思考问题来增强思维灵活性. 2.是什么？

2.1教学目标

课堂目标

（1）归纳得到排列的概念，推导排列数公式. （2）排列模型纳入认知系统. （3）通过“主体”“客体”“直接法”“间接法”的不同选择，引领学生从不同角度思考2

问题. 单元目标

（1）

正确运用两个计数原理、排列、组合概念分析和解决问题. （2）

会多角度思考问题，培养思维的灵活性.

课程目标

（1）形成数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养.

（2）学会数学的方式阅读、表达和交流. 2.2/2.3教学重难点和教学策略

教学重点

重点1 落实策略

归纳得出排列的概念和推导排列数公式. 以具体事例为载体，分析共同属性，归纳概括得到排列概念.关注单元内部结构和联系，用分步乘法计数原理推导排列数公式. 重点2 落实策略

教学难点

难点1 落实策略

让学生真正经历概念形成过程. 对例子中的属性进行比较、分化、类化，即时对共同属性进行抽象，将特殊问题一般化. 难点2 落实策略

难点3 落实策略

排列模型纳入学生的认知结构.

依据内在联系，设置“问题串”，通过“生—-生”与“师—-生”交流，将排列模型的特点深刻化. 思维灵活性的培养. 在体验、对比、反思中领悟通过多角度思考问题增强思维灵活性. 构建排列解决问题.. 辨析中深刻认识排列模型的特征，自动识别排列模型. 3.怎么做？

3.1/3.2教学过程及设计意图

教学流程：问题引入

概念形成

概念应用

课堂小结

课后应用

第一部分：引入部分

情境设置：回看上节课的例9 课本第9页：随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现。那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？

问题1：用分布计数原理解决这个问题时，因为做了一些重复性工作而显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简洁的方法？

设计意图：-------结合已经学习的两个计数原理，由已有知识出发，创设问题情境，提出新问题即寻求更加简洁的计数方法，引起学生内部的认知矛盾冲突，激发学生自己积极主动的思维活动。

3

问题2.接下来我们想一想，原来我们学习数列的逻辑顺序是怎样的呢？

设计意图：运用类比联想已学知识，已经经历过的学习过程对新内容的学习起到示范作用，启发学生如何有逻辑地学习和思考。

先行组织者: 在学习数列时,先学习了数列的概念和表示方法，又深入学习过两个最基本、最常见的特殊数列---等差数列和等比数列，当发现一个数列具备等差或等比的特点时，数列通项、求和等问题的研究就具备了特殊性和规律性，使得问题的解决模型化、简洁化。进而在研究数列相关问题时就可以尝试构建等差、等比数列解决问题。 我们今天也要做类似的事情，我们正在研究的是计数问题，分类加法原理和分步乘法原理是解决计数问题的两个基本方法。接下来我们研究一种最基本、最常见的计数问题，那么这种特殊的计数问题具备怎样的特点呢？

结合具备的特点，计数方法是不是也可以模式化、简洁化呢？

设计意图：

类比数列，明晰本节课在本单元中的逻辑地位，概述本节课的研究任务。

第二部分：排列概念的获得过程

1.从特殊例子入手

问题3：为了增强感受，我们不妨先来解决3个具体问题。

例1.从甲乙丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的安排方法？

例2.从1,2,3,4这4个数字中，取出三个不同数字排成一个三位数，可得到多少个不同的三位数？

例3.从红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7中不同的颜料中选取两种不同的颜色分别去涂小丑的鼻子头和嘴，有多少种涂法？

解决3道例题：

例1的解决过程：

方案一：

第一步：从3个不同的同学中取出1个同学占据第1个位置，有3种方法；

第二步：从剩下的2个不同同学中再取出一个同学占据第2个位置，有2种方法，

根据分步乘法原理：326

方案二：

第一步：从3个不同的同学中取出2个不同的同学，通过枚举法有3种方法；

第二部：将已经取出的2个不同同学排成一列，有2种方法；

根据分步乘法原理：326

方案三：

按照甲同学安排情况分类来解决问题：

甲同学没参加活动：2种情况（枚举）

甲同学参加活动：甲同学参加上午活动2种情况；甲同学参加下午活动2种情况

综上：2+2+2=6 例2和例3的解决，学生也会从出现类似的解决方案。只不过随着元素个数的不断变大，方案二可能会麻烦一点，方案一的实施更加的方便。

（追问）

4

问题4：方案一和方案二的依据相同吗？两个方案的不同点是什么？

问题5：方案一和方案三对比入手点有什么不同？

方案三和方案一对比，方案一把安排位置上、下午活动理解为“主体”，3个同学看成“客体”，方案三是把甲同学理解为“主体”，“主体”和“客体”的不同理解，对于培养思维的灵活性非常有益。方案一、二和方案三分别是分步和分类研究问题，

“分类”和“分步”都是把复杂问题分解和简化的有效途径。

设计意图：

关注单元内部结构和联系的前提下组织单元核心概念教学，体现数学学习的“关联性”，前备知识分步乘法计数原理是排列概念形成的起点和工具。

同时方案二为后续组合知识的学习做好铺垫。

再有不同方案是解决问题的不同角度，“主体”和“客体”的理解不同会产生不同的研究方案，这是培养学生思维灵活性的手段和途径。

说明：建议学生用枚举法和树形图验证自己的结果是否正确。

2.概括特殊例子所具备的共性特征

问题6：这3个例子具备怎样的共同特征？

说明：

1.例1中甲乙丙三名同学和例2中1,2,3,4四个数字、例3中的颜料虽然是不同的物种，分别是人和数字，但是可以抽象为几个不同“元素”；

2.备选元素和取出的元素有“不同”的要求；

3.取出的元素占据不同的位置对结果会有影响，或者说取出的元素排列的顺序不同结果不同。

舍弃具体背景概括为：

从

3个不同的元素中取出2个不同的元素按照一定的顺序排成一列，问共有多少种排法？

从

4个不同的元素中取出3个不同的元素按照一定的顺序排成一列，问共有多少种排法？

从

7个不同的元素中取出2个不同的元素按照一定的顺序排成一列，问共有多少种排法？

3.将问题一般化

问题7：你能将3道例题中研究的计数问题一般化吗？

从n个不同的元素中取出m个不同的元素按照一定的顺序排成一列，问共有多少种排法？

学生讨论之后会按照方案一进行研究：

第一步：从n个不同的元素中取出1个元素占据第1个位置，有n种可能；

第二步：从剩下的n1个元素中取出1个元素占据第2个位置，有n1种可能；

。。。。。。

第m步：从剩下的nm1个元素中取出1个元素占据第m个位置，有nm1种可能

由分步乘法计数原理得总共的排法有：nn1n2......nm1种。

4.得到排列概念和排列数概念

我们把：

从n个不同的元素中取出m个不同的元素按照一定的顺序排成一列，每种排法就叫做从n个不同的元素中取出m个不同元素的一个排列；

从

m来记：n个不同的元素中取出m个不同的元素的所有排列的个数叫做排列数，为用AnmAnnn1n2......nm1

5

分析：

1.m与n的关系0mn：

2.特殊地：当mn时，Annn1n2...321，也可记为n!，Annmn!nm!

3.规定：0!1，这时mn时，Anmn!nm!就有了意义。

问题8：满足什么条件的两个排列才相同？

问题9：排列数概念与分步乘法计数原理有何关系？

问题10：举例说明什么问题能利用分步乘法计数原理，但是不属于排列问题？

问题11：举例说明当问题既能用分步乘法计数原理，又能用排列模型来解决时，排列的优势是什么？

问题12：如果用两个词来概括排列的特征，你会用哪两个词？

设计意图：在数学知识之间联系的联结点和区别点上提问，在分步乘法计数原理的基础上推导出排列数公式，在辨析中让学生深刻认识排列模型的特征：“互异性”、“有序性”，使得排列的概念能从分步乘法原理中游离出来，为在应用时用排列解决问题做好准备。

第三部分：概念的应用

设计意图：应用概念的过程，也是一个检验概念是否被真正掌握的过程，是概念学习的强化机制。经过这一步才能使新概念与原有认知结构中较稳定的观念建立起各种实质性的和非人为的联系。

练习1. （1）从5本不同的书中选出3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

（2）从5种不同的书中选出3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

设计意图：虽只有一字之差，，第一个问题是典型的排列问题；第二个不是排列，只能用分步计数原理解决。让学生明晰排列模型中的“互异性”。进一步强化排列模型。

（3）从1,2,3这3个数字中每次取出2个不同的数相乘，有多少种不同的积？

（4）从1,2,3这3个数字中每次取出2个不同的数相除，有多少种不同的商？

设计意图：让学生体会排列模型的“有序性”，进一步强化排列模型。

练习2.回首上节课的例9：

课本第9页：随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现。那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？

332A26A10A222464000

---------在稍微复杂的题目中发现排列模型，三步中每一步都是排列模型

设计意图：练习3.

用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

12解法1：“主体”是位置，A9A9648

6

解法2.

“主体”是元素“0”

含0：2A9；不含0：A9，A92A9648

解法3.

从整体的角度来看，研究对立面，间接法

32A10A9648

2332设计意图：此问题属于带限制条件的排列问题，一方面：给学生对比的时间和机会，让学生通过对比优先安排受限位置和不优先安排受限位置研究过程的繁与简，真正体会“优先原则”（优先安排受限位置或受限元素）的优势。

另一方面：本题也是教学生在计数问题中如何变换角度研究问题的示范。换角度看问题的抓手：比如“主体”、“客体”的选择；比如跳出研究问题本身，从整体入手，找到问题的对立面，在直接法和间接法中选择较简单的解法。

第四部分：课堂小结：

1.

反思概念的获得过程，归纳概念形成的“一般套路”？

2.

还有什么困惑？

学生提问：

反思解决3道例题的方案二，方案二中的第一步里是不是藏着另外一个计数模型？

即“从n个不同的元素中取出m个不同的元素，有多少种取法？”他还说：这个模型在生活中经常碰到，应该有研究价值吧？

第五部分：课后作业

1.教科书第20页练习

2.思考学生提出的问题：

从n个不同的元素中取出m个不同的元素合成一组，一共有多少个不同的组？

设计意图：通过巩固练习将排列这个概念纳入学生的认知系统，并充分发挥排列对后续组合知识启发作用。

3.请同学们看中国地图，把新疆、青海、西藏、甘肃、四川五个行政区域画成数学示意图，然后用五种不同颜色给示意图着色，每个区域涂一种颜色，每两个相邻区域不能同色，五种颜色不一定都用，不同的涂色方法有多少种？

设计意图：首先将生活问题数学化，构建排列解决涂色问题，体会通过变换“主体”和“客体”呈现不同解法。

3解法1. 把颜色当做“主体”：用3种颜色：A545

2AA55；用4种颜色：；用5种颜色：7

解法2. 把位置当做“主体”：依次涂A---B---C---E---D，E与A同色时，D有3中涂法；E与A不同色时，D有2中涂法；所以543322420

3.3教学反思

对教学设计的反思

在对比班教学时，在概念应用（例题教学）环节，发现有些学生仍旧只能使用乘法原理而不能将若干步骤看成一个模块用排列解决问题。

反思原因是因为在排列概念形成之后，没有给学生创设问题来辨析排列和乘法原理之间的关系。所以在下一个班的教学中做出调整，尝试让学生举例，寻找可以用乘法原理，但是不能用排列来解决的例子。当一个问题既能用乘法原理又能用排列模型解决时，用排列解决问题的优势是什么？通过提问给学生开辟“火热思考”的阵地，激化新概念与原有认知结构之间的矛盾，让学生在思考中进一步把排列所具备的特征深刻化，在这个体会的过程中，排列这个概念的不知不觉纳入到学生的认知系统，让运用排列解决问题变成一种自觉行为。

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