1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教案评析

§1.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）

学习目标

1. 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用；

2. 了解线性回归模型与函数模型的差异，了解衡量两个变量之间线性相关关系得方法---相关系数.

学习过程

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

问题1：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？

复习1：函数关系是一种

关系，而相关关系是一种

关系.

复习2：回归分析是对具有

关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：







.

二、新课导学

※

学习探究

实例

从某大学中随机选取8名女大学生，其身高/cm和体重/kg数据如下表所示：

1 2 3 4 5 6 7 8 编号

身高

165 165 157 170 175 165 155 170 体重

48 57 50 54 64 61 43 59 问题：画出散点图,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. 解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此

选

自变量x，

为因变量. (1)做散点图:

从散点图可以看出

和

有比较好的

相关关系. (2) x=

y= 8xyii18i

xi12i

所以bxyii188i8xy8x2

xi12i

aybx

于是得到回归直线的方程为

(3)身高为172cm的女大学生,由回归方程可以预报其体重为

y

问题：身高为172cm的女大学生,体重一定是上述预报值吗?

思考：线性回归模型与一次函数有何不同?

新知：用相关系数r可衡量两个变量之间

关系.计算公式为

r =

r>0,

相关, r<0

相关; 相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系

，它们的散点图越接近

；

r

，两个变量有

关系. ※

典型例题

例1某班5名学生的数学和物理成绩如下表:

学生

A B C D E 学科

数学成绩(x) 物理成绩(y) 88 78 76 65 75 70 64 62 62 60 (1)

画散点图;

(2)

求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程;

(3)

该班某学生数学成绩为96,试预测其物理成绩;

变式：该班某学生数学成绩为55,试预测其物理成绩;

小结：求线性回归方程的步骤：

※

动手试试

练.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y

(吨标准煤)的几组对照数据

(1)请画出上表数据的散点图；

x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

(参考数值32.5435464.566.5)

三、总结提升

※

学习小结

1. 求线性回归方程的步骤：

2. 线性回归模型与一次函数有何不同

※

知识拓展

在实际问题中，是通过散点图来判断两变量之间的性关系的，

※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

1. 下列两个变量具有相关关系的是（

）

A. 正方体的体积与边长

B. 人的身高与视力

C.人的身高与体重

D.匀速直线运动中的位移与时间

2. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（

）

A. 预报变量在x 轴上，解释变量在

y 轴上

B. 解释变量在x 轴上，预报变量在

y 轴上

C. 可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上

D. 可选择两个变量中任意一个变量在

y 轴上

3. 回归直线ybxa必过（

）

A. (0,0)

B. (x,0)

C. (0,y)

D. (x,y)

4.r越接近于1，两个变量的线性相关关系

. 5. 已知回归直线方程y0.5x0.81,则x25时,y的估计值为

.

课后作业

一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会

有

缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：

16 14 12 8 转速x (转/秒) 9 8 5 有缺点零件数

y （件）

11 （1）画散点图；

（2）求回归直线方程；

（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为

10 个，那么机器的运转速度应控制

在什么范围内？

§1.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）

学习目标

1. 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用; 2. 了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 3. 会用相关指数，残差图评价回归效果.

学习过程

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：用相关系数r可衡量两个变量之间

关系.r>0,

相关,

r<0

相关; r越接近于1，两个变量的线性相关关系

，它们的散点图越接近

；r

，两个变量有

关系.

复习2：评价回归效果的三个统计量：

总偏差平方和；残差平方和；回归平方和.

二、新课导学

※

学习探究

探究任务：如何评价回归效果？

新知：

1、评价回归效果的三个统计量

(1)总偏差平方和：

(2)残差平方和：

(3)回归平方和：

2、相关指数：R2表示

对

的贡献，公式为：

R2

R2的值越大，说明残差平方和

，说明模型拟合效果

.

3、残差分析：通过

来判断拟合效果.通常借助

图实现. 残差图：横坐标表示

，纵坐标表示

. 残差点比较均匀地落在

的区的区域中，说明选用的模型

，带状区域的宽度越

，说明拟合精度越

，回归方程的预报精度越

.

※

典型例题

例1关于x与y有如下数据：

x

2 4 5 6 50 8 70 y

30 40 60 为了对x、y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：y6.5x17.5，y7x17，试比较哪一个模型拟合的效果更好?

小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.

例2 假定小麦基本苗数x与成熟期有效苗穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：

x

15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y

39.4 42.9

42.9 43.1 49.2

（1）画散点图；

（2）求回归方程并对于基本苗数56.7预报期有效穗数；

（3）求R2，并说明残差变量对有效穗数的影响占百分之几.

(参考数据：xi25101.51,xiyi6746.76,

i1i1nn(yi15iy)50.18，

2(yi15iyi)29.117）

练1. 某班5名学生的数学和物理成绩如下表:

学生

A B C D E 学科

数学成绩(x) 物理成绩(y) 88 78 76 65 75 70 64 62 62 60 （4）求学生A,B,C,D,E的物理成绩的实际成绩和回归直线方程预报成绩的差eiy2yi.并作出残差图评价拟合效果.

小结：

1. 评价回归效果的三个统计量: 2. 相关指数评价拟合效果：

3. 残差分析评价拟合效果：

三、总结提升

※

学习小结

一般地，建立回归模型的基本步骤：

1、确定研究对象，明确解释、预报变量；

2、画散点图；

3、确定回归方程类型（用r判定是否为线性）；

4、求回归方程；

5、评价拟合效果. ※

知识拓展

在现行回归模型中，相关指数R2表示解释变量对预报变量的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好.如果某组数据可以采取几种不同的回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2作出选择，即选择R2大的模型. ※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

1. 两个变量

y与x的回归模型中，分别选择了

4 个不同模型，它们的相关指数

R2如下

，其中拟合

效果最好的模型是（

）. A. 模型

1 的相关指数R2为

0.98

B. 模型

2 的相关指数R2为

0.80 C. 模型

3 的相关指数R2为

0.50 D. 模型

4 的相关指数R2为

0.25 2. 在回归分析中，残差图中纵坐标为（

）. A. 残差

B. 样本编号

C. x

D. en

3. 通过e1,e2,,en来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分工称为（

）. A.回归分析

B.独立性检验分析

C.残差分析

D. 散点图分析

4.R2越接近1,回归的效果

. 5. 在研究身高与体重的关系时，求得相关指数

R2

，可以叙述为“身高解释了69%的体重变化，而随机误差贡献了剩余

”所以身高对体重的效应比随机误差的

.

课后作业

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y

(吨标准煤)的几组对照数据

(1)请画出上表数据的散点图；

x

3

4

5

6

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法

y

2.5

3

4

4.5

求出y关于x的线性回归方程ybxa；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

(参考数值32.5435464.566.5) （4）求相关指数评价模型.

§1.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）

学习目标

1. 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用; 2. 通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法. 3. 了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较.

学习过程

一、课前准备

（预习教材,找出疑惑之处）

复习1：求线性回归方程的步骤

复习2：作函数y2x和y0.2x25的图像

二、新课导学

※

学习探究

探究任务：如何建立非线性回归模型？

实例一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y与x之间的回归方程.

温度x/C

21 23 25 27 29 32 35 325 产卵数y个

7 11 21 24

（1）根据收集的数据，做散点图

66 115

上图中，样本点的分布没有在某个

区域，因此两变量之间不呈

关系，所以不能直接用线性模型.由图，可以认为样本点分布在某一条指数函数曲线yebxa的周围（a,b为待定系数）. 对上式两边去对数，得

lny

令zlny,，则变换后样本点应该分布在直线

的周围.这样，就利用

模型来建立y和x的非线性回归方程. x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 zlny

作散点图（描点(xi,zi)）

由上表中的数据得到回归直线方程

z

因此红铃虫的产卵数y和温度x的非线性回归方程为

※

典型例题

例1一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表中，

温度x/C

产卵数y个

21 23 7 11 25 21 27 24 29 32 35 325 66 115

（散点图如由图，可以认为样本点集中于某二次曲线yc3x2c4的附近，其中c1,c2为待定参数）试建立y与x之间的回归方程.

思考：评价这两个模型的拟合效果.

小结：利用线性回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图建模确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题.

三、总结提升

※

学习小结

利用线性回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图建模确定方程”这三个步骤进行.

※

知识拓展

非线性回归问题的处理方法：

1、

指数函数型yebxa

①

函数yebxa的图像：

②

处理方法：两边取对数得lnyln(e)，即lnybxa.令zlny,把原始数据（x,y）转化为（x,z），再根据线性回归模型的方法求出b,a. 2、对数曲线型yblnxa

①

函数yblnxa的图像

bxa

②

处理方法：设xlnx，原方程可化为ybxa

再根据线性回归模型的方法求出a,b. 3、ybx2a型

处理方法：设xx2，原方程可化为ybxa，再根据线性回归模型的方法求出a,b. ※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

1. 两个变量

y与x的回归模型中，求得回归方程为ye0.2x32，当预报变量x10时（

）. A. 解释变量ye30

B. 解释变量y大于e30

C. 解释变量y小于e30

D. 解释变量y在e30左右

2. 在回归分析中，求得相关指数R20.89，则（

）. A. 解释变量解对总效应的贡献是11%

B. 解释变量解对总效应的贡献是89%

C. 随机误差的贡献是89%

D. 随机误差的贡献是0.89%

3. 通过e1,e2,,en来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分析称为（

）. A．回归分析

B．独立性检验分析

C．残差分析

D. 散点图分析

4.在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线yebxa的周围，令zlny，求得回归直线方程为z0.25x2.58，则该模型的回归方程为

. 1 2 3 4 5 6 5. 已知回归方程y0.5lnxln2天数x/天

,则49 95 190 x100时,y的估计值为

. 繁殖个数y/个

6 12 25

课后作业

为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：

（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；

（2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.