复习参考题优质课一等奖

排列组合问题的常见方法

独山子第二中学高二数学李传珠

教学目标：

知识与技能目标：掌握求解排列组合问题的常用方法

过程与方法目标：引导学生归纳总结排列组合问题的常用方法。

情感态度与价值观目标：掌握知识的同时培养学生分类讨论，分步求解的思想。

教学重点：归纳总结排列组合问题的常用方法

教学难点：归纳总结排列组合问题的常用方法的特征。

教学导图：

排列

两个计数原理

捆绑法（元素相邻问题）

插空法（元素不相邻问题）

定序问题（元素有特殊的顺序要求）

优选法（特殊元素，特殊位置优先处理）

教学过程：

组合

两个计数原理

平均分组

隔板法

一,复习回顾：

排列组合的联系与区别

排列

组合

相同点

从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素

不同点

有顺序

无顺序

二,解答计数问题的原则：

解排列组合题要求我们合理运用加法原理和乘法原理，准确的区分排列与组合，仔细推敲题中的关键字，词，正确分清施加条件。本节将排列组合问题中的有“特殊要求”的问题加以归纳总结。用好这些原则会使许多复杂的问题变得简单明了。

三,典型问题

（排列）题型一：元素相邻问题

解决策略：捆绑法

将相邻的元素先排列，再看做一个整体与剩下的元素进行全排。

例1：三个男生和两个女生共五人排成一排，如果女生必须相邻，则不同的排列方法有多少种？

解析：分两步：第一步两个女生全排并视为一个元素，第二步将四个元素全排。

A2A4

变式1：.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字且数字2与4中间必须隔一个数的五位数,这种五位数的个数是 . 解析：分两步：第一步2，4全排，第二步从1，3，5中选一个元素放在2，4中间，将这三个元素视为一个元素，第三步将三个元素全排。

A1A2A332324

题型二：元素不相邻问题：

解决策略：插空法

将没有特殊要求的元素先排，产生空位，再将不相邻的元素插入空位中。

例2：三个男生和两个女生共五人排成一排，如果女生不相邻，则不同的排列方法有多少种？

解析：分两步：第一步先将三个男生全排，产生4个空位。第二步从4个空位中选择两个空位将两个女生

插入有顺序。

A3A234变式：三个男生和两个女生共五人排成一排，如果男女相间隔排列，则不同的排列方法有多少种？

A2A3解析：分两步：第一步先将两个女生全排，产生3个空位。第二步将3个男生插入三个空位中有顺序。

（相邻不相邻）综合练习：7名学生站并排成一排，在下列情况下各有多少种不同的排法？

（1）A、B、C三人互不相邻；

23解析：（插空法）分两步：第一步先将除A、B、C3个元素外的4个元素全排，产生5个空位。第二步将A、A5A4B、C3个元素插入三个空位中有顺序。

（2）A、B、C三人相邻；

34A解析：（捆绑法）分两步：第一步A、B、C三个元素全排视为一个元素，第二步将五个元素全排。

3A5（3）A、B相邻，但C不与A、B相邻；

35解析：（捆绑法与插空法）分两步：第一步A、B、两个元素全排视为一个元素，第二步将除A、B、C以外A的4个元素全排，产生5个空，第三步从5个空中选2个将不相邻的2个元素插入有顺序。

2A4A5题型三：元素定序问题：

解题策略：

第一步：元素全排

第二步：除去特殊元素的相对顺序

242例3：某车队有A,B,C,D,E,F六辆车，现在调出4辆且按一定的顺序去执行任务，要求A,B两辆车必须参加且A车排在B车之前出发，则不同的调度方法有多少种？

解析：分两步：第一步从C,D,E,F中选2辆与A,B排序，第二步A在B前占将A,B进行全排列数之一，故总共有

C4A4

少种？

解析：分两步：第一步A,B,C,D,E,F全排，第二步A在B前且B在C前占将A,B，C进行全排列数之一，故总共有

6A63A3242变式：若要求六辆车全部去执行任务,A车在B车前面出发且B车在C车前面出发，则不同的派车方案有多题型四：优选法: 解决策略：特殊元素或特殊位置优先考虑。

1，特殊元素容易满足的先满足特殊元素的要求

2，特殊位置容易满足的先满足特殊位置的要求

3，特殊元素特殊位置要求复杂，且有某种关系时，一石二鸟法

练习（2015年高考数学四川卷理科第6题）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有-----？

解析：分两类：第一类首位是4，末位为0或2 第二类是首位为5，末位为0，2，4共有

1313C2A4C3A4120（组合）题型一：平均分配问题：

解题策略：先分组，再分配

例题4：安排9名学生参加实验: 333C9C6C3(1)平均分成3组,每组3人,参加相同实验,有多少种不同的分组方法? 3A3注意：把整体平均分组时要考虑到重复的情况。

3(2)平均分成3组,每组3人,参加不同的实验,有多少种不同的分组方法? C9C6C3A33333A3

(3)分成3组,一组5人,其余两组每组2人,参加相同的实验,有多少种不同的分组方法? 522

C9C4C23782A2

注意：局部平均分组时也要考虑到重复的情况。

(4)分成3组,一组5人,其余两组每组2人,参加不同实验,有多少种不同的分组方法? 522

C9C4C2A3226832A2

题型二：相同元素有序分组：

解决策略：隔板法

例5：十个相同的小球分给七人，每人至少分的一个球，不同的分法有多少种？

解析：十个无差别的小球排成一列会产生除两头以外的9个有效的空位，要将十个小球分成7份，需要在9个空中选择6个空插板，无顺序。

C96练习：现从高二理科7个班中挑选12人组成校代表队,参加全疆数学竞赛每班至少选一人,问有多少种选法? 解析：12个无差别的名额排成一列会产生除两头以外的11个有效的空位，要将12个名额分成7份，需要在11个空中选择6个空插板，无顺序. 综合应用

练习：7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：

（1）甲不站排头，乙不站排尾

6法1：

A6115C5C5A5(优先法)652A6A5(排除法)

6C11法2：A77（2）甲，乙2人不站两端

A7

725A5A5(优先法)26A2A6(捆绑法)（3）甲，乙2人相邻

（4）甲，乙2人不相邻

2652A2A6A5A6(插空法)（5）甲，乙之间隔着2人

224A5A2A4(捆绑法)（6）甲在乙的左边

7A7

(定序)2

（7）若7人中有4男生3女生，男，女相间隔排列

34

A3A4(插空法)（8）7人站成前后两排，前排3人，后排4人的站法

7(分步计数)

A7（9）甲，乙，丙3人中从左向右看由高到低（3人身高不同）的站法

7

A7(定序)3A3

小结：

解决排列与组合问题常用方法：两个原理,捆绑法，插空法，定序法，优先法，平均分组，隔板法等，但最基础的是“两个原理”

作业：

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