三 反证法与放缩法优秀教学实录

2-3反证法与放缩法

【学习目标】1．理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明不等式的方法．

2．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．

【学习重点】体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题；掌握证明不等式的两种放缩技巧。

【学习难点】会用反证法证明简单的命题；体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。

【考点】1．利用反证法、放缩法证明不等式或常规问题是本节的热点．

2．在不等式的证明中，常与数列、三角结合，将放缩法渗透其中进行考查．

【学习过程】

一．知识导学

1．反证法

先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理，性质等进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质，明显成立的事实等)

的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．

想一想：哪些命题或不等式适合用反证法证明？

2．放缩法

将所需证明的不等式的值适当

(或

)使它由繁化简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值

，反之，把分母缩小，则分式的值

．

试一试：用放缩法证明不等式常用的方法有哪些？

提示：①添加或舍去一些项；

②将分子或分母放大(或缩小)；

aa＋m③真分数的性质：若0＜a＜b，m＞0，则＜；

bb＋m④利用基本不等式；

⑤利用函数的单调性；

⑥绝对值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 1⑦利用函数的有界性：如：|sin x|≤1(x∈R)；x2－x≥(x∈R)；2x＞0(x∈R)．

4二．探究与发现

【探究一】反证法证明不等式

例1．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0. 求证：a>0，b>0，c>0.

规律方法：用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．

1＋y1＋x变式训练1. 已知x>0，y>0，且x＋y>2，求证：x与y中至少有一个小于2.

狠抓基础是成功的基础，持之以恒是胜利的保证。

【探究二】放缩法证明不等式

例2．设Sn＝1×2＋2×3＋…＋nn＋1，

nn＋1n＋12求证：不等式

22

规律方法：(1)用放缩法证明不等式的过程中，往往采用添项“添舍”放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式收缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递．

(2)利用常用结论：

122①＝＞＝2(k＋1－k)，

kk＋kk＋k＋1122＝＜＝2(k－k－1)(k∈N＋，k＞1)；

kk＋kk＋k－111111111②2＜＝－k；2＞＝k－(程度大)；

kkk－1k－1kkk＋1k＋1111111③2＜2＝＝k－1－k＋1(程度小)．

kk－1k－1k＋12111变式训练2. 求证：1＋2＋2＋…＋2<2 (n∈N*)．

23n

【探究三】放缩法在数列中的综合应用

例3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)．

(1)求数列{an}的通项；

n1a1a2ann(2)证明：－＜＋＋…＋＜(n∈N＋)．

23a2a3an＋12

规律方法：解数列不等式综合题要注意

①数列不等式综合题难度大，内容丰富，是考察数学能力的良好载体；

狠抓基础是成功的基础，持之以恒是胜利的保证。

②数列问题重点在数列通项上，解决问题的方法也蕴含在其中，注意考察的方式；

③注意放缩的尺度，过大过小都不能解决问题．

2n－1135变式训练3. 求证：＋＋＋…＋n<3 (n∈N*)．

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方法技巧：用反证法证明否定性结论

【示例】已知0＜x＜2,0＜y＜2,0＜z＜2，求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1.

方法点评：(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．

(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾. 三．巩固训练

1．实数a，b，c不全为0等价于 (

)．

A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0

C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 abcd2．已知a，b，c，d都是正数，S＝＋＋＋，则有

a＋b＋ca＋b＋dc＋d＋ac＋d＋bA．S＜1

B．S＞1

C．S＞2

D．以上都不对

3．否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为

A．a、b、c都是奇数

B．a、b、c都是偶数

C．a、b、c中至少有两个偶数

D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数

四．小结

1．用反证法证明不等式要把握三点：

(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完整的．

狠抓基础是成功的基础，持之以恒是胜利的保证。

(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．

(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背，等等，推导出的矛盾必须是明显的．

2．(1)放缩法的关键在于放大(或缩小)要适度．

(2)当要证明的不等式中含有分式时，我们把分母放大，则相应的分式的值缩小；反之，如果把分母缩小，则分式的值放大．

(3)放缩法放大缩小的限度不是唯一的，如果用某种放大的办法可以得到欲证结论，那么比此放大更“精细”的放大就应该更能得到所需结论．但是一般来讲，这种“风险”和“难度”是成正比的，放得越宽，能否证出命题的“风险”越大，但相对放大的“难度”就越低；反之，放大越精细，则能证出最终结论的可能性越大，但是“难度”也相对增大．

狠抓基础是成功的基础，持之以恒是胜利的保证。