1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用名师教学设计

目 录

1．

教学内容解析

.................................................................................................................................. 2

2．

教学目标设置

.................................................................................................................................. 2

2．1

知识与技能目标

...................................................................................................................... 2

2．2

过程与方法目标

...................................................................................................................... 2

2．3

情感态度价值观目标

.............................................................................................................. 3

3．

学生学情分析

.................................................................................................................................. 3

4．

教学策略分析

.................................................................................................................................. 3

5．

教学媒体支持

.................................................................................................................................. 4

6．

教学过程设计

.................................................................................................................................. 4

6．1 创设情境，提出问题

................................................................................................................ 4

6．2 探究归纳，解决问题

................................................................................................................ 4

6．3 成果展示，巩固提升

................................................................................................................ 8

6．4 小结引申，构建体系

................................................................................................................ 8

6．5 布置作业，节节达标

................................................................................................................ 8

参考文献

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《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

1.

教学内容解析

本节课是高中数学人教A版（选修）1—2第一章第二节的内容．在本节课之前，学生已经学习了事件的相互独立性、回归分析的基本思想及其初步应用．本节课利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要内容．

在本节课的教学中，讨论两个分类变量的关系时，要把重点放在独立性检验的统计学原理上，使学生掌握独立性检验的基本步骤，体会独立性检验的基本思想．教材通过典型案例的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用．独立性检验的思想与反证法类似，它们都是先假设结论不成立，反证法是在假设结论不成立的基础上推出矛盾，从而证明结论成立，而独立性检验是在假设结论不成立的基础上，推出有利于结论成立的小概率事件的发生．由于小概率事件在一次试验中通常是不发生的，因此认为结论在很大程度上是成立的．

学习独立性检验的目的是“通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用”．随着现代信息技术的飞速发展，人们每天都会接触到影响我们生活的大量信息，所以具备一定的统计学知识已经成为现代人应有的一种数学素养．

2.

教学目标设置

2．1

知识与技能目标

通过对生活中典型案例的探究，理解独立性检验的基本思想及实施步骤，会对两个分类变量进行独立性检验，并能利用独立性检验的基本思想来指导自己的决策．

2．2

过程与方法目标

通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，借助样本数据的列联表分析独立性检验的实施步骤．利用上节课所学知识已经由数据直观感觉到吸烟与患肺癌可能有关系，这一直觉来自于观测数据，即样本．问题是这种

2

来自于样本的印象能够在多大程度上代表总体．这节课就是为了解决这个问题，在学生亲身体验感受的基础上，激发学生的求知欲，提高学生的数据分析能力．

2．3

情感态度价值观目标

通过本节课的学习，让学生体会统计方法在决策中的作用，加强数学与现实生活的联系，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力．教学中适时地利用小组合作与交流，使学生感受发现、探索的乐趣，让他们体会到数学不是枯燥的，是鲜活的、实用的．

3.

学生学情分析

1．本节课的内容独立性检验对学生来说是全新的，为什么要学习这个方法？通过课前的案例引入可以让学生体会到本节知识的实用性．

2．独立性检验相当于建立一个判别“两个分类变量之间有关系”这一结论是否成立的规则，并且给出该规则把“两个分类变量之间没有关系”错判成“两个分类变量之间有关系”的概率．所以首先要教会学生的是了解并初步理解这个规则，然后才是会用这个规则解决问题．

3．独立性检验难以理解的一个主要之处在于出现一个随机变量K2，这个随机变量K2是怎样构造出来的，为什么如此构造？教材在这一部分处理上，是先进行某一临界值的讲解，然后再给出卡方临界值表，这对学生来说是难以理解的，为什么就给出这么一个临界值呢？有这个问题的存在，学生对接下来所谈到的内容会有所怀疑，不一定十分认同．为了突破这个难点，我采用“先入为主”的思想，把教材后面介绍的卡方临界值表提前讲解，用概率知识解读临界值表的含义，让学生先接受统计学上的知识，然后在应用过程中进一步理解，这样进行调整后，学生对独立性检验的思想的接受就稍微容易一些．

4.

教学策略分析

为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，从学生的认知规律出发，让学生自主学习，运用探究式法，充分调动学生的积极性，让学生逐步领会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的方法．

3

5.

教学媒体支持

多媒体辅助，合作探究式教学．

6.

教学过程设计

6．1 创设情境，提出问题

为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果： 吸烟与患肺癌列联表 单位：人

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

7775 2099 9874 患肺癌

42 49 91 总计

7817 2148 9965

这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表（一般我们只研究每个分类变量只取两个值的情况，这样的列联表称为22列联表）．

问题1：

你认为吸烟与患肺癌有关系吗？

由以上列联表，我们估计：

①在不吸烟者中患肺癌的比例为________；

②在吸烟者中患肺癌的比例为 ．

因此，从直观上可以得到结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性是存在差异的．

问题2：你有多大把握认为吸烟与患肺癌有关系？

【设计意图】数学因其能解决实际问题而有生命力，创设一个问题情境，既回顾了上节课的内容，又引出本节课要研究的问题，同时使学生体会到数学的应用价值，感受学习数学新知识的必要性．

学生能回答出第一个问题，但对第二个问题就无从下手，这样可以让学生带着问题进入到下面的学习中，同时明确本节课的重点．

6．2 探究归纳，解决问题

①

启发探究

4

引导性语言：有多大把握认为“两个分类变量有关系”，这是个概率问题．在用频率代替概率后，假设H0：吸烟与患肺癌没有关系；用A表示不吸烟，用B表示不患肺癌；则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌相互独立”，即假设H0等价于：P(AB)P(A)P(B)

上述列联表中的数字用字母代替，可得如下列联表： 吸烟与患肺癌列联表 单位：人

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

患肺癌

总计

a

c

b

d

bd

ab

cd

abcd

ac

提出问题：在假设H0成立的条件下，能推导出a,b,c,d有怎样的关系？

学生活动：利用列联表推导．

预设回答：adbc．

【设计意图】借助反证法的思维，将问题转化为两个分类变量相互独立，利用概率相关知识，用频率代替概率，利用列联表由学生自己动手推导出，在H0（adbc）成立的条件下有adbc，进而引出随机变量K2公式中的部分结构．

②

新知解读

引导性提问：通过上述推导得到adbc，为表示其差异性，将其转化成|adbc|，那么|adbc|的大小能说明什么？

预设回答：|adbc|越小，说明吸烟与患肺癌之间的关系越弱；|adbc|越大，说明吸烟与患肺癌之间的关系越强

．

引导性语言：为了使不同样本的数据有一个统一而又合理的评判标准，统计学家们经过研究后构造了一个随机变量

n(adbc)2K,(nabcd)

(ab)(ac)(cd)(bd)2随机变量K2服从卡方分布，统计学家们得到了如下的卡方临界值表：

P(K2k0)

0．50 0．40 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001

5

k0

0．455 0．708 1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．897 10．828 以k0=6．635为例，P(K26.635)0.01，就是说在H0成立的条件下，计算出随机变量K2的观测值大于等于6．635的概率不超过0．01，也就是在99%的情况下其观测值是小于6．635的．

【设计意图】随机变量K2的理解是本节课的难点之一，利用概率知识解读卡方临界值表中数据的含义，有助于学生理解独立性检验的基本思想．

本环节没有按照教材的呈现顺序，而是先将卡方临界值表给出来讲解，这样改变后能使学生首先了解随机变量K2的含义，并能体会到如果K2的观测值很大，就认为两个分类变量有关系的合理性，为后面引出独立性检验的规则做好铺垫．达到突破难点的目的．

③

分组讨论

若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应该很小．根据表中的数据，利用公式计算得到K2的观测值为

9965(777549422099)2k56.632 781721489874919965(777549422099)256.632这个值到底能告诉我提出问题：k78172148987491们什么呢？

学生活动：利用卡方临界值表和K2的观测值k进行小组讨论，得出他们认为正确的结论．

小组讨论得出结论：现在K2的观测值k56.632，远远大于6．635，所以有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”．但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0．01，即我们有99%以上的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”．

【设计意图】让学生通过对卡方临界值概率的理解，亲身去体会是接受假设

6

H0还是不接受，实现教学重点，即理解独立性检验的基本思想．

独立性检验的思想是本节课的教学重点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，学生不仅能够直观感受，更是直接参与讨论和总结，从而让学生理解独立性检验的基本思想，突破本节课难点，培养学生的分析、探究、归纳能力以及小组协作的意识．

④

形成概念，总结提升

上面解决问题的思路类似于反证法．要判断“两个分类变量有关系”，首先假设该结论不成立，即

H0：两个分类变量没有关系

成立．在该假设下我们所构造的随机变量K2应该很小．如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大，则在一定可信程度上说明H0不成立，即在一定可信程度上认为“两个分类变量有关系”；如果k的值很小，则说明在样本数据中没有发现足够的证据拒绝H0．

怎样判断K2的观测值k是大还是小呢？这仅需确定一个正数k0，当kk0时就认为K2的观测值k大．此时相应于k0的判断规则为：如果kk0，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”．我们称这样的k0为一个判断规则的临界值．按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过P(K2k0)．

在实际应用中，我们把kk0解释为有(1P(K2k0))100%以上的把握认为“两个分类变量之间有关系”；把kk0解释为没有(1P(K2k0))100%以上的把握认为“两个分类变量之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据．

上面这种利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法，称为独立性检验．

根据以上分析，“独立性检验”的具体步骤为：

7

第一步：根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；

第二步：利用公式计算随机变量K2的观测值k；

第三步：比较k与k0的大小，并得出结论．

【设计意图】深化学生对独立性检验思想的理解，掌握应用独立性检验解决问题的步骤．

6．3 成果展示，巩固提升

引导性语言：课前各小组都收集了你们感兴趣的分类变量的相关数据，利用本节课我们所学的独立性检验的知识进行判断，看各自有对大的把握认为它们有关系？

学生活动：小组内进行检验，然后每小组推选一名成员进行研究成果展示．

【设计意图】各小组将各自收集的分类变量数据进行独立性检验分析，并将检验结果展示给全体同学，加深本组及其它各组学生对独立性检验思想的理解，体验数学在实际生活中的应用．同时用学生收集的分类变量数据做练习，更能提高学生学习数学的兴趣．

6．4 小结引申，构建体系

由学生谈本节课学习的收获，并对所学内容进行归纳．

【设计意图】初步形成以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性．

6．5 布置作业，节节达标

作业为教材第16页

习题1．2

第1、2题．

【设计意图】通过作业进一步构建独立性检验的思想体系．

参考文献

[1] 普通高中数学课程标准实验教科书数学选修1-2教师教学用书[M]. 人民教育出版社

8