3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教案板书设计

§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义（教学设计）

教学目标：

知识与技能目标：

掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义

过程与方法目标：

培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力。

情感、态度与价值观目标：

培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。

教学重点：复数代数形式析加法、减法的运算法则。

教学难点：复数加减法运算的几何意义。

教学过程：

一、复习回顾：

1、复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数zabi复平面内的点Z(a,b)

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法

一一对应2、. 若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，

ab(x1x2,y1y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

3、

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

即

AB=OBOA=( x2, y2)  (x1,y1)= (x2 x1, y2 y1)

二、师生互动、新课讲解：

1、复数代数形式的加减运算

（1）复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. （2）复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. （3）复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R). ∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i. z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i. 又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1. ∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律. （4）复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i) =［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i

=［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i

=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.

1

z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］

=(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i

=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i

∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). ∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律

讲解范例：

例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i

变式训练1：计算：

（1）(2+4i)+(3-4i);

(2)

5-(3+2i);

（3）(i)(1(4)

(0.5+1.3i)-(1.2+0.7i)+(1-0.4i)

23213i)(i)

324例2.在复平面内,复数6+5i与-3+4i对应的向量分别是OA与OB，其中O是原点，求向量AB与BA对应的复数。

（答：-9-i；9+i）

例3：设z= x+2i,z= 3-yi(x,y∈R),且z+z= 5 - 6i,求z-z1212 12 （答：-1+10i）

2.复数代数形式的加减运算的几何意义

复数的加(减)法

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).

（1）复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ

（2）复数zabi平面向量OZ

（3）复数加法的几何意义：

设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为OZ1、OZ2，即OZ1、一一对应一一对应OZ2的坐标形式为OZ1=(a，b)，OZ2=(c，d)以OZ1、OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是OZ，

∴OZ= OZ1+OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i

（4）复数减法的几何意义：

复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量OZ2就与

2

复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i对应由于OZ2Z1Z，所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

例4：复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 分析一：利用ADBC，求点D的对应复数. 解法一：设复数z1、z2、z3所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x，y∈R)，是：

ADODOA=(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i; BCOCOB=(－1－2i)－(－2+i)=1－3i. ∵ADBC，即(x－1)+(y－2)i=1－3i，

∴x11,x2,解得

y23,y1.例2图

故点D对应的复数为2－i. 分析二：利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解. 解法二：因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是(－2+i)+ (x+yi)=0，∴x=2，y=－1. 故点D对应的复数为2－i. 点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用

例5：已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0 (aR)有实数根b，

（1）求实数a，b的值；（2）若复数z满足|z-a+bi|-2|z|=0，求|z|的最小值。

课堂练习：（课本P109练习：NO：1；2）

三、课堂小结，巩固反思：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小

只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

复数的加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a，b，c，d∈R). 复数的加法，可模仿多项式的加法法则计算，不必死记公式。

复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量OP1、OP2，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量OS就是z1+z2的和所对应的向量

复数减法的几何意义：两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

3

四、【课时作业】

一、选择题

111．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于(

) 22A．0

55C.－i

22答案

C 1155解析

z1＋z2＝(2＋)－(＋2)i＝－i. 22222．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(

) A．1＋i

C．－1－i

答案

B 解析

z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i. →→→→3．在复平面内，O是原点，OA，OC，AB表示的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，则BC表示的复数为(

) A．2＋8i

C．4－4i

答案

C →→→→→→解析

BC＝OC－OB＝OC－(AB＋OA)＝4－4i. 4．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x且z1－z2＝2，则xy的值为(

) A．1

B．2

C．－2

D．－1 答案

A 解析

z1－z2＝(y＋xi)－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2. x＋y＝2，x＝1，得解之得∴xy＝1. x－y＝0，y＝1，35B.＋i 2253D.－i 22B．1＋3i D．－1－3i B．－6－6i D．－4＋2i

→→5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA，OB对应的复数分别是3＋i，－1→＋3i，则CD对应的复数是(

) A．2＋4i

C．－4＋2i

答案

D →→→解析

∵BA＝OA－OB，

B．－2＋4i D．4－2i

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