1.3 二项式定理（通用）国家优质课一等奖

1．3.1

二项式定理

学习目标

1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

1.问题导学

知识点

二项式定理及其相关概念

思考1

我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．

答案

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 思考2

上述两个等式的右侧有何特点？

答案

(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4. 思考3

能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？

n1n1nkkn*答案

能，(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb (n∈N)．

－－梳理

二项式定理

二项式系数

通项

二项式定理的特例

2.题型探究

类型一

二项式定理的正用、逆用

例1

(1)求(3x＋14)的展开式．

x141131212414)＝(3x)4＋C4(3x)3()＋C2)＋C3)＋C4()＝4(3x)(4(3x)(xxxxxn1n1nkkn公式(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb，称为二项式定理

－－Ckn(k＝0,1，…，n) nkkTk＋1＝Ckb

na－012kknn(1＋x)n＝Cn＋Cnx＋C2nx＋…＋Cnx＋…＋Cnx

解

方法一

(3x＋12181x2＋108x＋54＋＋2. xx方法二

(3x＋143x＋14111234)＝()＝2(1＋3x)4＝2[1＋C13x＋C4(3x)2＋C4(3x)3＋C4(3x)4]＝2(14·xxxxx112＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝2＋＋54＋108x＋81x2. xxn1n1n2nk(2)化简：C0＋C2－…＋(－1)kCk＋…＋(－1)nCnn(x＋1)－Cn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1)n. －－－

n1n1n2nkn解

原式＝C0(－1)＋C2(－1)2＋…＋Ck(－1)k＋…＋Cnn(x＋1)＋Cn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1)－－－(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 引申探究

1将例1(1)改为求(2x－2)5的展开式．

x11101312213解

方法一

(2x－2)5＝C5(2x)5－C5(2x)4·2＋C2(2)－C3(2)＋C4(2)4－5(2x)·5(2x)·5(2x)·xxxxx8040101515C5·(2)＝32x5－80x2＋－4＋7－10. xxxxx111132323334方法二

(2x－2)5＝[2(2x3－1)]5＝－10(1－2x3)5＝－10[1－C15(2x)＋C5(2x)－C5(2x)＋C5xxxx35(2x3)4－C55(2x)]＝－1104080－80x2＋32x5. 10＋7－4＋xxxx反思与感悟

(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．

跟踪训练1

化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1. 5142332450解

原式＝C05(2x＋1)－C5(2x＋1)＋C5(2x＋1)－C5(2x＋1)＋C5(2x＋1)－C5(2x＋1)＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 类型二

二项展开式通项的应用

命题角度1

二项式系数与项的系数

2例2

已知二项式(3x－)10. 3x(1)求展开式第4项的二项式系数；

(2)求展开式第4项的系数；

(3)求第4项．

2解

(3x－)10的展开式的通项是

3xTk＋1＝Ck10(3x)10－k2210－kx(－)k＝Ck(－)k·1033x3103k2(k＝0,1,2，…，10)．

(1)展开式的第4项(k＝3)的二项式系数为C310＝120. 237(2)展开式的第4项的系数为C3103(－)＝－77 760. 3(3)展开式的第4项为T4＝T3＋1＝－77 760x. 反思与感悟

(1)二项式系数都是组合数Ck…，n})，它与二项展开式中某一项的n(k∈{0,1,2，

系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．

(2)第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Ck在(1＋2x)7n.例如，7333的展开式中，第四项是T4＝C3(2x)3，其二项式系数是C3717＝35，而第四项的系数是C72－＝280. 2x－n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162. 跟踪训练2

已知x(1)求n的值；

(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．

解

(1)因为T2＝C1n(x)T3＝C2n(x)n－2－22＝4C2nxxn32n62，

n－11－2＝－2Cnxx，

121依题意得4C2n＋2Cn＝162，所以2Cn＋Cn＝81，

所以n2＝81，n＝9. (2)设第k＋1项含x3项，则

Tk＋1＝Ck9(x)9－k－2k＝(－2)kCk9xx93k2，

9－3k所以＝3，k＝1，

213所以第二项为含x3的项：T2＝－2C9x＝－18x3. 二项式系数为C19＝9. 命题角度2

展开式中的特定项

33n的展开式中，第6项为常数项．

x－例3

已知在3x(1)求n；

(2)求含x2的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

解

通项公式为

Tk＋1＝Cknxnk3

(－3)kxk3k＝Ckn(－3)xn2k3. n－2k(1)∵第6项为常数项，∴当k＝5时，有＝0，即n＝10. 3n－2k1(2)令＝2，得k＝(n－6)＝2，

322∴所求的系数为C210(－3)＝405.

10－2k3∈Z，(3)由题意得，0≤k≤10，k∈Z.

－10－2k令＝t(t∈Z)，

33则10－2k＝3t，即k＝5－t.∵k∈Z，∴t应为偶数．

2令t＝2,0，－2，即k＝2,5,8. ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x2. －反思与感悟

(1)求二项展开式的特定项的常见题型

1n①求第k项，Tk＝Ckna－－k＋1bk1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．

(2)求二项展开式的特定项的常用方法

①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；

②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；

③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

ax－9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________. 跟踪训练3

(1)若x答案

1 9－kk1kkk9－2k解析

展开式的通项为Tk＋1＝Ckx(－a)＝C·(－a)x(0≤k≤9，k∈N)．当9－2k＝399x3时，解得k＝3，代入得x3的系数，根据题意得C39(－a)＝－84，解得a＝1. 2(2)已知n为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则(x＋)n的二项展开式的常数项是________．

x答案

160 6解析

由题意得n＝6，∴Tk＋1＝2kCk6x－2k3，令6－2k＝0得k＝3，∴常数项为C362＝160.

3．当堂训练

1．(x＋2)8的展开式中x6的系数是(

) A．28

B．56

C．112

D．224 答案

C 822解析

由T2＋1＝C2·2＝112x6，∴(x＋2)8的展开式中x6的系数是112. 8x－2．二项式(x＋A．第7项

C．第9项

212)的展开式中的常数项是(

) xB．第8项

D．第10项

答案

C 解析

二项展开式中的通项公式为k＝8. ∴常数项为第9项．

a3．已知x－5的展开式中含x2的项的系数为30，则a等于(

) xA.3

B．－3

C．6

D．－6 答案

D a解析

x－5的展开式通项

xTk＋1＝Ck53－Tk＋1＝Ckx12k·(12·12k2k3kkx2，令12－2k＝0，得)＝C12·2·x3x5k2x·(－1)a·kkk2＝(－1)kakCk5x5k2，

53令－k＝，则k＝1，

221∴T2＝－aC5x，∴－aC15＝30，∴a＝－6，故选D. 324．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1＝________. 答案

x5

解析

原式＝[(x－1)＋1]5＝x5. 5．求(x＋解

(x＋1＋2. x规律与方法

1．注意区分项的二项式系数与系数的概念．

nkk2．要牢记Ckb是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．

na－14)的展开式．

x1411142441312)＝C0＋C2()2＋C3()3＋C4)＝x＋4x＋6＋4(x)＋C4(x)4(x)·4x·4(xxxxxx3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．