2.2.2 反证法教学设计

§2.2.2间接证明——反证法

一、教学任务：

1、结合具体实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法

2、了解反证法的思考过程、特点及基本步骤

3、会用反证法证明数学问题

二、教学重点：

了解反证法的思考过程、特点；会用反证法证明数学问题

三、教学难点：

反证法的思考过程、特点；用反证法证明数学问题

四、教学过程:

（一）导入新课：

1、复习综合法和分析法的思考过程和特点

2、反证法

[情境导学1]

王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”

这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．

探究点一

反证法的概念

思考1

通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？

答

(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．

[情境导学2]

A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒

谎，为什么？

分析:假设C没有撒谎, 则C真. 那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎. 思考2 如何给反证法下个定义？

反证法定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．

反证法的一般步骤：

(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。

思考3

反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？

答

(1)与原题中的条件矛盾；

(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；

(3)与假设矛盾．

应用反证法的情形：

(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论; （3)结论为“至少”、“至多”等 （4）结论为

“唯一”类命题.

例题精讲：

例1：证明在一个三角形中至少

有一个角不小于60°. 已知：∠A，

∠ B，

∠ C是△ABC的内角. 求证：

∠ A，

∠ B，

∠ C中至少有一个

不小于60°

证明：假设

三角形的三个内角A，B，C都小于60°

所以∠

A <

60°，∠B

< 60°，

∠C

< 60

∴

∠A+∠B+∠C<180° 这与三角形内角和是180°相矛盾. 所以假设不成立，原命题正确

跟踪训练1 1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”. (1)互补的两个角不能都大于90°. (2)△ABC中,最多有一个钝角

2、用反证法证明：如果a>b>0，那么

例2

已知直线a，b和平面α，如果a⊄α，b⊂α，且a∥b，求证：a∥α. 证明

因为a∥b，

所以经过直线a，b确定一个平面β. 因为a⊄α，而a⊂β，所以α与β是两个不同的平面．

因为b⊂α，且b⊂β，所以α∩β＝b. a>b

下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．

假设直线a与平面α有公共点P，如图所示，

则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点，

这与a∥b矛盾．所以a∥α. 反思与感悟

数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法．

探究点三

用反证法证明否定性命题

例3

求证：2不是有理数．

证明

假设2是有理数．于是，

存在互质的正整数m，n，

m使得2＝n，从而有m＝2n，因此m2＝2n2，

所以m为偶数．于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有

4k2＝2n2，即n2＝2k2，

所以n也为偶数．这与m，n互质矛盾．

由上述矛盾可知假设错误，从而2不是有理数．

反思与感悟

当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．

跟踪训练2

已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．

证明

假设a，b，c成等差数列，则

a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，

而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，

∴(a－c)2＝0.即a＝c，

从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，

故a，b，c不成等差数列．

探究点四

含至多、至少、唯一型命题的证明

例4

若

x0,y0,且xy21x1y,中至少有一个小于2yx

1x1y,都大于或等于2

证:假设yx

求证:

1x1y2,2

即:yxx0,y0 1x2y,1y2x2xy2x2y即:xy2,这与条件xy2矛盾故假设不成立,原命题成立反思与感悟

当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的

假设．

ππ跟踪训练3

若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋2，b＝y2－2z＋3，c＝z2－2xπ＋6.求证：a、b、c中至少有一个大于0. 证明

假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，

所以a＋b＋c≤0，

πππ而a＋b＋c＝(x2－2y＋2)＋(y2－2z＋3)＋(z2－2x＋6)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π

＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，

所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，

故a、b、c中至少有一个大于0. （三）课堂练习：

课本P43页

练习1、2 （四）课堂小结：

反证法的思考过程和特点。

（五）布置作业：

课本P44页

A组

3、B组1。