探究与发现 子集的个数有多少教案范文

课题：子集的个数有多少

武威第五中学 白军元

教学目标：

1.知识与技能

(1)了解并掌握两个计数原理，应用计数原理探究出集合子集的个数。

(2)简单了解用n位二进制数和n元集合的子集的一一对应关系推理证明n元集合的子集个数。

(3)能利用所得结论解决一些数学问题，提高知识应用的能力。

2.过程与方法

(1)让学生通过归纳、猜想和证明推出n元集合的子集个数。

(2)让学生通过合作、交流和探究来获得数学知识。

3.情感、态度与价值观

(1)让学生在探索、发现数学知识的过程中不断获得成功的体验，增强学生学习数学的兴趣。

(2)培养学生对新知的探究精神和小组合作精神。

教学重点：

1.用计数原理推理证明n元集合的子集个数。

2.用n位二进制数和n元集合的子集的一一对应关系推理证明n 元集合的子集个数。

教学难点：

1.

灵活运用计数原理探究n元集合的子集个数。

2.

运用n位二进制数和n元集合的子集的一一对应关系探究n 元集合的子集个数。

教学方法：小组讨论、探究发现

课时安排：1课时

教学过程：

一、复习回顾

1.分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法,…,在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。

2.分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，在第1步中有m1种不同的方法，在第2步中有m2种不同的方法,…,在第n步中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. 二、探究新知

1.问题：n元集合A=｛a1,a2,…,an｝的子集有多少个？

2.做一做：

(1)写出∅的所有子集；

(2)写出｛a｝的所有子集；

(3)写出｛a,b｝的所有子集；

(4)写出｛a,b,c｝的所有子集；

(5)写出｛a,b,c,d｝的所有子集.

3.集合的元素个数与子集个数之间有关系吗？

猜想：（n元集合A=｛a1,a2,…,an｝的不同子集有2n个.）

4.你能用所学知识证明这个结论吗？（学生小组讨论，教师引导，利用乘法分步计数原理证明。）

证明：要得到集合A的一个子集S1，可以分n个步骤：

第1步，考察元素a1是否在S1中，有2种可能（a1∈S1，a1∉S1）；

第2步，考察元素a2是否在S1中，有2种可能（a2∈S1，a2∉S1）；

……

第k步，考察元素ak是否在S1中，有2种可能（ak∈S1，ak∉S1）；

……

第n步，考察元素an是否在S1中，有2种可能（an∈S1，an∉S1）. 只要完成上述n个步骤，那么集合S1中元素就完全确定了. 根据分步乘法计数原理，对于由n个元素组成的集合，共有

2×2×…×2=2n

个不同的子集. 5.你还能用另外的方法证明上述结论吗？（学生小组讨论，教师引导，利用加法分步计数原理证明。）

证明：要得到集合A的子集，可以分为 n+1 种类型：

第1类，从集合A中的n个元素中取0个元素构成子集，有

个；

第2类，从集合A中的n个元素中取1个元素构成子集，有

个；

……

第k类，从集合A中的n个元素中取 k-1 个元素构成子集，有

个; ……

第n+1类，从集合A中的n个元素中取n个元素构成子集，有

个. 只要完成上述n种类型，那么集合A的所有子集就完全确定了. 根据分类加法计数原理，对于由n个元素组成的集合A，共有

+

+

+…+

=

个不同的子集. 6.你还能用其他的方法证明上述结论吗？（学生思考，教师引导，利用n位二进制数和n元集合的子集的一一对应关系探究n元集合的子集个数。）

拓展思维：要确定集合A=｛a1,a2,…,an｝的一个子集,我们可以通过考察A中的每一个元素是否在某个子集中的方式来产生一个子集.我们用“1”表示“是”，用“0”表示“否”，那么n位二进制数和n元集合的子集就形成了一一对应的关系. n元集合A的每一个子集对应一个n位的二进制数，第i个位置上是“0”表示集合A的第i个元素不在相应的子集中，第i个位置上是“1”表示集合A的第i个元素在相应的子集中.这样，按照分步乘法计数原理可得，n位的二进制数00…0（表示0）到11…1（表示2n-1）共有2n个.于是n元集合A的子集共有2n个. 三、课堂练习

1.若A=｛x|x

N*且10-x

N*｝，则集合A的子集、真子集和非空真子集分别有多少个？

2.若｛1,2｝

A

｛1,2,3,4,5,6｝，求满足条件的集合A的个数. 四、课堂小结

1.本节课我们学习的主要知识有哪些？

2.在学习过程中用了哪些知识和方法？

五、布置作业

1.总结、整理本节课的知识和方法。

2.习题1.1 A组

教学反思：

1.在小组探究、讨论过程中，部分学生对问题的思考和解决的方向有偏差，在表述个人观点时运用的数学语言不准确，在今后的教学中要注意这方面的训练。

2.通过学生小组探究获取的知识，在应用过程中更加熟练、顺手。