1.1 回归分析的基本思想及其初步应用优秀教学实录

回归分析的基本思想及其初步应用教学设计

教材：

人民教育出版社A版选修1-2第2页到第4页

【教学目标】

在《数学③（必修）》之后，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，最小二乘法求回归直线方程等内容.在人教A版选修1-2第一章第一节“回归分析的基本思想及其初步应用”这一节中进一步介绍回归分析的基本思想及其初步应用.这部分内容《教师用书》共计4课时，第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果；第二课时：从相关系数、相关指数和残差分析角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时：回归分析的应用. 本节课是第一课时的内容. 1、知识目标

认识随机误差；

2、能力目标

（1）会使用函数计算器求回归方程；

（2）能正确理解回归方程的预报结果. 3、情感目标

通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性. 【教学重点】随机误差ｅ的认识

【教学难点】随机误差的来源和对预报变量的影响

【教学方法】

启发式教学法

【教学手段】多媒体辅助教学

【教学流程】

1

作业

学生阅读课本

教师操作

师生共同分析结果

新课,学生分四组操作

复习引入

小结

2

【教学过程设计】

教学过程

双边活动

教师活动

提问：“身高标准体重”从何而来？我们为什么要相信一张表格？

提出将要研究的问题“本年级女生身高与体重之间的关系”. 学生活动

阅读思考

设计说明

引导学生思考. 备注

2分钟

创设情境：

2007年5月，中共中央国务院关于加强青少年体育、增强青少年体质的意见指出城市超重和肥胖青少年的比例明显增加“身高标.准体重”该指标对于学生形成正确的身体形态观具有非常直观的教育作用. 复习：

让学生回忆统计学的步骤和随机抽样、分层抽样、系统抽样. 复习抽样方法，画散点图，利用函数计算器求回归方程．

给出最小二乘法的计算公式：

师：在正式研究之前，我们先一起回忆一下必修③所学过的内容. 师：我提供5组身高与体重的数据，请同学们画散点图，并用函数计算器求线性回归方程.

编号

1 2 3 4 回忆必修③中相关知识，参照投影展示的计算器的使用方法，练习使用函数计算器求回归方程. 学生抄写数据后，画散点图，并互相帮助，学习使用计算器的方5 法

身高/cm 165 165 157 170 175 n体重/kg 49 58 51 53 65 (xx)(yy)ii

i1ˆbn

学生做完后教师用Excel展2(xx)i示散点图和所求回归方程. i1ˆxˆybyia利用“先行组5织者”，给出分学生一个知钟

识的大背景，顺便帮助学生复习必修③所学内容，包括抽样方法，画散点图，让学生熟悉利用函数计算器求回归方程，为本节课作好知识上和技术上的准备. ˆxaˆbˆ

求出回归方程yyi1n其中

xxi

，ni1y1yi

ni1n706050403020100155yi160165xi170175180

(x,y)称为样本点的中心. （函数计算器的使用方法见后附说明）

分配任务：通过随机抽样已经获得高二年级女生身高体重的数据共45组，用电脑显示3 学生分组操作：

1、抽样（随机抽取）

先分别将四个组的数据要抄写在练习本上，方便参考．

不同的人作不同的事，老师在这里把

8分钟

2、样本数据（电脑展示）

3、画散点图

4、计算

5、预测身高为172cm的女生的体重

（目的：使学生了解回归分析的一般步骤．）

出来，学生分四组操作．

操作1第一组使用前面15组数据求；第二组使用中间15组数据；第三组使用最后15组数据；

操作2 第四组用课本例题1中女大学生的身高体重的8组数据．

每个小组要求完成三幅散点图．（四个小组同时操作）

倾听并引导学生发言．

学生分工操作：有的画散点图；有的用函数计算器进行计算；有的做检验．

学生之间的差异作为一种资源，由能力较强的学生带着能力较弱的学生，帮助及时到位．体现建构性教学中的“合作”．

利用课本例5题１女大学分生的身高体钟

重和高二女生形成明显对比．

让学生用自己了解到的知识进行描述和交流，提高学生参加数学活动的兴趣和热情．

1、认识样本点中心与回归方程的关系

2、这个问题的产生水到渠成，不是强加给学生的．问题的解决合情合理，使学生感到数学是自然的．

3、逐步靠近本课时的教学重点与难点.

结果的比较：

１、比较散点图分布形态

２、比较样本点中心及它和回归方程的关系

３、比较回归方程系数

４、比较散点图与回归直线的关系

５、比较四个172cm女生体重的预测值

（目的：给学生一个关注方向）

第四组派学生代表用投影仪展示本组散点图和回归方程，并作简单讲解．

其他三组派学生代表板书，写出本组的线性回归方程，并把所预测的体重值写出来．以方便比较．

讨论回答老师提问

1、学生计算得到样本1、为什么回归直线过样本点中心在回归直线点中心？

ˆx就是将(x,y)代上．

ˆyba

（目的：加强对公式的认识）

入求出，进而得到回归方程

ˆxaˆbˆ

y

体会随机数学与确ˆ受样本点的不同而影响，2、2、b2、都是高二女生为什么所定性数学的区别与联求回归方程不同？

如果是不同事件（如课本例1系．知道最小二乘法（目的：认识随机数学的不女大学生和高二女生），则统估计回归方程已经是确定性）

计结果自然不同；但是，同一最好估计，但还是会

事件（如都是高二女生），采受采样的影响形成一

样不同结果也不同

．

些差异．

3、样本点为什么不都落在3、请一位同学拿自己小组的3、某同学拿自己小组我们求得回归方程上？

散点图和回归方程展示并讲

的散点图和回归方程（目的：引出线性回归模型解小组讨论结果. 展示并讲解小组讨论y=bx+a+e ,讨论随机误差e教师启发：没有人知道身高和结果（小组其他成员结果的分析：

启发与讲解

1、教师展示由小二乘法求回归系数的公式讲解：

15

分钟

4

的来源）

4、预测出的体重都不同，那么它还有参考价值吗？

（目的：让学生感知预报变量的变化受解析变量和随机误差的共同影响）

体重之间的真正关系是什么，我们在寻找一种回归方程来近似这种关系．这里存在一种误差是由选择模型近似所应起的．

讲解：线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e.

我们把自变量x称作解释变量，因变量y称作预报变量.

４、启发①：参考预测值时，我们希望高中组的三个值接近点好还是区别大点好？

启发②：怎样就能更接近？

学生回答“样本多一些”后教师电脑展示：

用所有45组高二女生数据所求回归方程，以方便学生比较哪一个小组的预测值更接近老师的较多数据的预测值，相对而言，这个组的模拟效果就越好．

启发③：

为什么随着数据的增多，三组的预测值有可能会越接近？

可以补充）：

一个人的体重受实现知识由身高影响外，还受生生活化向数理因素、饮食锻炼、学化的转测量工具、等其他因变．学生面对素影响．

数学学习，与

其说是“学习受启发后讨论得到

数学”，不如e 产生的主要原因：

说是“学习数 (1)所用确定性函学化”，本问数模拟不恰当.如：使题的提出，实用一次函数模型还是质上是在催使用二次函数模型；

促学生进行 (2)忽略了某些因“超越生活”素的影响，如遗传因的提炼．.

素、生活习惯等；

(3)观测误差，如使

用的测量工具不同

等．

４、回答：接近点好．

4、突破本节

课的难点，充

分认识随机

误差e的来源回答：样本多一些．

和对预报变

量的影响.

对思维受阻

的地方，教师

通过层层铺

垫，给予必要

的引导，做到

“引而不

灌”，教师的

引是为了学

生更好地思回答：（接受启发）预考．启发学生测时解释变量取定时涉及的问x=172cm，要想预报题层层深入，变量的值接近，只有环环相扣，非使随机误差e变小了.

常巧妙．

5

（回应本课开始的提问“身高标准体重”从何而来？）

解释变量x

（身高）的

变化bx+a 预报变量y（体重）

的变化y=bx+a+e

随机误差e

师问：随机误差e变小体现在

哪里？

回答：体现在函数模师讲解：所以，有参考价值，拟有机会更贴切；更它们的值越接近，就说明随机容易贴近普遍的生活误差越小，当然就拟合的越方式、饮食与运动等好. 共性.

当数据足够多，使用科学的方法，是能够制作出一份值得参考的“身高标准体重”的．

回到刚才的问题，如果条件有限，只能获得15组数据，那么怎样知道这三组同学所得的回归方程哪个更好？

请同学们带着以下问题阅读课本，时间5分钟！

巡视与解答个人问题

学生阅读后回答：

1、答案是否定的．

因为预测出的不是真实体重，而是体重的平均值．

2、（部分阅读较快的同学可以回答出）使２用相关指数Ｒ来解释．

让学生知道，获得回归方程并不是最终目的，我们希望用它进行预测或决策．

再次感受随机误差e的存在，强化重点内容．

回归课本，实现了对知识技能目标的明晰，又有效地利用了课本资源．

1、由小结再次明确了随机误差的存在和影响，突出重点、难

学生阅读

1、若通过一条回归方程预测，是不是身高172cm的所有女生体重都一样呢？

（目的：让学生正确理解用线性回归方程预测结果的含义）

2、怎样知道自己模拟的回归方程中随机误差有多大？

（目的：为后继课程作铺垫）

５分钟

小结与作业：

1、函数模型与线性回归模型之间有何异同？

2、在本节课中，我们运用1、函数模型：y=bx+a 线性回归模型：y=bx+a+e 当理想化，使所有人的遗传因素都一样、所有人的生活方式都一样、所有测量都没有误差6 倾听并思考

1、得到结论：一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数5分钟

了哪些数学思想和方法？

3、多个模型，怎样知道哪个效果更好？

作业：1、阅读相关材料，对以上问题有所认识. 2、试做：课本P11（习题1.1 ）第1题

等等，e=0线性回归模型就变成函数模型了. 2、函数思想、数形结合思想．

3、如果没有额外的数据可以使用，能不能比较出刚才三个小组谁的回归方程模拟效果更好？

具体内容，我们下节课讲解．

模型的一般形式.

2、体会随机数学的特点．

3、预习课本后回答：点；

2、注重数学教学中的思想性，它们是贯穿数学教学过程的“灵魂”．

3、这个问题2可以使用相关指R ．

的提出，给学生留下思维发展的时空和探索余地，激发学生对知识的进一步渴望.

【教学反思】

通过本节课的教学实践，我再次体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”，在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，课堂上的真正主人应该是学生．一堂好课，师生一定会有共同的、积极的情感体验．本节课的教学中，知识点均是学生通过探索“发现”的，学生充分经历了探索与发现的过程．教学中没有以练习为主，而是定位在知识形成过程的探索，注重数学的思想性，如统计思想、随机观念、函数思想、数形结合的思想方法等，引导学生体验数学中的理性精神，加强数学形式下的思考和推理．

7

几点注明：

1、

复习引入时教师做示范——提供5组身高与体重的数据，用Excel展示如何画散点图、用最小二乘法求线性回归方程.随机抽样并列表如下：

2、计算机做散点图的步骤如下：

（1）进入Excel软件操作界面，在A1,B1分别输入“身高”和“体重”，在A,B列输入相应的数据. （2）点击“图表向导”图标，进入“图表类型”对话框，选择“标准类型”中的“XY散点图”，单击“下一步”. （3）在“图表向导”中的“图表数据源”对话框中，选择“系列”选项，单击“添加”按钮添加系列1，在“X值”栏中输入身高所在数据区域，在“Y值”栏中输入体重所在数据区域，单击“下一步”. （4）进入“图表向导”中的图表选项对话框，对图表的一些属性进行设置. （5）单击“完成”按钮. 注：也可以直接使用我们提供的文件来给学生演示，相对节约课堂时间. 编号

1 2 165 58 3 157 51 4 170 53 5 175 65 身高/cm 165 体重/kg 49 yi706050403020100155yiyi160165xi170175180

8

3、学生使用函数计算器求回归方程的过程如下：

MODE 3 1 (进入回归计算模式) SHIFT CLR 1 = (清除统计存储器) 165 165 157 170 175 ，

，

，

，

，

49 58 51 53 65 DT DT DT DT DT (输入五组数据) SHIFT CLR 1 = (计算参数a) (计算参数b) SHIFT CLR 2 = ˆ0.673x-56.79 所以回归方程为

y

（学生还会使用更先进的计算器）

4、课堂使用的数据如下

高二女生前15组数据列表：

编号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 身高/cm 165 153 157 170 152 153 157 168 154 162 160 159 148 156 163

体重/kg 49 43 51 53 45 44 46 52 44 49 48 46 42 45 50

9

高二女生中间15组数据列表：

编号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 身高/cm 155 163 147 160 165 163 157 170 164 160 158 156 161 160 159 体重/kg 49 51 41 50 49 49 46 56 52 49 47 45 53 48 47 高二女生后15组数据列表：

编号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 身高/cm 169 163 158 170 165 162 156 161 173 167 160 154 154 165 159 体重/kg 57 58 51 53 50 48 46 52 56 54 43 44 46 52 49 课本P2例题1 女大学生8组数据列表：

例1.

编号

身高/cm 体重/kg

1 2 3 4 5 6 165 61 7 155 43 8 170 59 165 165 157 170 175 48 57 50 54 64 10

回归分析的基本思想及其初步应用教学设计说明

教材：

人民教育出版社A版选修1-2第2页至第4页

1、设计理念

《数学课程标准》明确指出：有效的数学学习活动不能单纯地模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流，可以促进学生自主、全面、可持续的发展，是学生学习数学的重要方式．

为使教学真正做到以学生为本，我对教材P2—P3的知识进行了适当地重组和加工，力求给学生提供研究、探讨的时间与空间，让学生充分经历“做数学”的过程，促使学生在自主中求知，在合作中获取，在探究中发展.

2、授课内容的数学本质与教学目标定位

回归分析，是一种从事物因果关系出发进行预测的方法．操作中，是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式），预测今后事物发展的趋势．然而，所建立的回归方程与样本点的分布之间还存在有差异，这一差异就是我们本节课学习的主要内容：随机变量．

本课的教学目标为：

①知识目标

认识随机误差e；

②能力目标

（1）会使用函数计算器求回归方程；

（2）能正确理解回归方程的预报结果. ③情感目标

通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性.

3、学习本课内容的基础以及应用

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本课内容安排在《数学3（必修）》之后，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，会利用最小二乘法求回归直线方程等内容.以此为基础，进一步讨论一元线性回归模型，分析产生模型中随机误差项的原因，从而让学生了解线性回归模型与函数模型之间的区别与联系，体会统计思维与确定性思维的区别与联系. 通过本节课的学习，为后继课程了解偏差平方和分解思想和相关指数的含义、了解相关指数

R2和模型拟合的效果之间的关系、了解残差图的作用，体会什么是回归分析、回归分的必要性，都起到铺垫作用．

在本节课的教学中，学生使用了函数计算器，教师则利用电脑Excel表格完成对数据的整理，需要学生有一定的动手能力．

4、学习本课内容时容易了解与容易误解的地方

由于学生对必修3中的线性回归知识已经熟悉，会抽取样本、会画散点图、会利用最小二乘法求出线性回归方程，所以本节课学生容易了解：

（1）从散点图看出，样本点呈条状分布，体重与身高具有线性相关关系，因此可以用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系．

（2）可以发现样本点并不完全落在回归方程上，有随机误差存在. （3）容易理解由一条回归方程预测到的身高172cm的女生体重不是都一样，它只是一个平均值．

在学习过程中，相对不易理解的地方有：

（1）对于随机误差的来源，学生是能够从样本的个体差异上来理解的，但是对于由用线性回归模型近似真实模型所引起的误差，学生理解还是有一定困难的. （2）随机误差对预报变量的影响，学生从感性上很好理解，当然是随机误差越小越好.但是从理性上认识，怎样从数据上刻画出随机误差是否变小了呢？学生还有困难.

5、本节课的教法特点以及预期效果分析

5.1 改造创新

教师通过分析教材和学生认知规律，创造性地使用教材，做到既重视教材，更重视学生.具体说来有以下改造：

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（1）创设生活情景.利用学生的“体检经验”设置问题，既没有脱离课本例题1的相关内容，又能激发学生对数学的亲切感，引发学生看个究竟的冲动，兴趣盎然地投入学习. （2）充分体现随机观念.课本上仅仅希望利用8组数据就要学生体会到统计的思想和后继课程中回归分析的必要性，实在是为难学生了．在本课教学设计学生操作时强调

“增多数据，加强比较”. 帮助学生体会

“不同事件（如课本例1女大学生和高二女生）”，则统计结果不同、“同一事件（如都是高二女生），采样不同结果也不同”的基本事实. （3）教师的作用. 在这节课里，教师在学生操作结束后，利用更多数据的操作，形成一个与学生结果的对比，这一操作与展示为学生创造了新的思维增长点，引领学生进入更深层领悟. 5.2 问题性

本课教学以问题引导学习活动，通过恰时恰点地提出问题，提好问题，给学生提问的示范，使他们领悟发现和提出问题的艺术，引导他们更加主动和有兴趣地学，逐步培养学生的问题意识，孕育创新精神.例如，在“结果的分析”中的问题4、“预测出的体重值都不同，那么它还有参考价值吗？”目的是让学生充分认识随机误差e的来源和对预报变量的影响，而这一问题的提出，立刻吸引学生细细体会随机观念，同时激发出学生的好奇心，提升深入探求的欲望． 5.3 合作、探究的学习方式

本节课的合作学习体现在两个方面：除了体现在每个小组内部成员之间，还体现在整堂课的教学结构上．小组成员内部提倡“不同的人作不同的事”，面对不同分组，学生可以自主选择的不同工作，动手带动动脑，遇到小的问题，通过探讨和帮助，能做到“学生的问题由学生自己解决”，促进对某一问题更清晰的认识，还能感受到团结合作的好处与必要.同时，每个小组的劳动成果共同构成课堂教学需要的多条回归方程，组与组之间的合作推动整节课的比较与区分得以实现. 5.4教学手段

本课积极将数学课程与信息技术进行整合，采用多种技术手段，特点主要体现如下：

13

（1）以PPT 为操作平台，界面活泼，操作简单，能有效支持多种其它技术；

（2）教师用Excel图表展示，直观形象，节约时间，帮助学生顺利完成学习内容；

（3）学生使用函数计算器动手操作，求出回归方程．

本课预期：

（1）学生可以很好地复习使用函数计算器求回归方程，虽然在要求学生自己操作前教师有一个示例，但是还是会有一少部分人不会使用，所以在教学前要有一定的思想准备，和必要措施. （2）在分析各个组的预测结果为什么有差异时，由于个体经验不同，对问题的挖掘深度产生不同，这时教师的启发引导可能会十分必要，不能完全由学生漫无目的的“讨论”，使学生活动流于形式. （3）“结果分析”前，由学生展示操作成果，这些结果已经够用来说明问题，教师不要急于参与.在“结果分析”的第4个问题中引入教师利用电脑求出的由45 组数据得到的回归方程，让学生再一次通过比较得到新的思考点——

怎样知道自己模拟的回归方程身高变化对体重变化影响有多大呢？

这样会使学生自然而然渴望进一步了解相关回归分析的知识，为后继课程做好伏笔.对于体现本节课承上启下的作用，可能更好一些.

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