2.3.2 圆的一般方程优秀教学设计

课题

授课课时

授课题目(章，节) 教材及参考书目

●教材分析

圆的一般方程

1课时

课型

授课时长

新课

45分钟

第四章第一节4.2.1圆的一般方程

人教B版高中数学实验教科书必修2 圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难。因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用。突破难点的关键是抓住一般方程的特点。

●学情分析

圆的一般方程是学生在学习了圆的标准方程后，又掌握了利用待定系数法求圆的标准方程的基础上进行研究的。

但由于学生基础差、学习程度较浅，且对圆的标准方程运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。

●教学目的与要求

一、知识目标：(1)理解记忆圆的一般方程的代数特征。

(2)掌握方程x2y2DxEyF0表示圆的条件。

二、能力目标：(1)能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程。

(2)能应用待定系数法求圆的一般方程。

(3)能应用代入法求一般曲线的方程。

(4)培养探索发现及分析解决问题的能力。

三、情感目标：(1)培养学生勇于探索的精神。

(2)渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质。

●教学重点

圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程

的步骤

●教学难点

圆的一般方程和代入法的掌握、应用

●教学方法

师生合作式探究

诱导启发式教学

●

教学辅助

多媒体教学平台

●设计思想

本节课的设计思想是：以多媒体网络教学平台为依托，为学生营造一个探究学习的环境，让他们参与到多媒体教学中来，探究新知，发现规律，解决问题。

●教学过程与时间分配

一、复习提问，引入课题

（3 分钟）

二、探索研究，讲授新课

（22分钟）

三、例题讲解，对应练习

（16分钟）

四、课堂小结，反馈回授

（3 分钟）

五、分层作业，巩固提高

（1 分钟）

环

节

教学内容

一、复习引入：

问题1：圆的标准方程的形式是怎样的？它表示了一个怎样的几何图形？

旧

知

回

、

顾

问题2：若把标准方程新

(x-a)2+(y-b)2=r2展开以及

知

移项，会得到什么样的形式，教师活动：让学生先独立思铺

是不是依然表示圆的方程？

考，自主探究，

引导学生得出方程形式：垫

x2+y2+Dx+Ey+F=0，并提出问题，是否满足这个形式的方程表示的是圆的方程，从而引出课题

引

二、新课讲解

入

新

课

、

课题：圆的一般方程

提

出

课

题

计意图

师：同学们！上节课我们研究学生活动：回答问复习巩

题，并填写学案，进固圆的了圆的标准方程，请同学们回一步明确旧知识与标准方忆

一下圆的标准方程，并填新知识的联系。

程，进一步将写学案

新知识

融合在

旧知识教师：提出问题，并对学生的中

回答加以肯定。并强调r20

学生带

着疑

问，亲自动笔学生活动：动笔展开实践，方程发现新(x-a)2+(y-b)2=r2.

问题，

引入课题。

教师活动

学生活动

设

师：相信同学们学习完今天的课程就会有了自己的答案，好的我们来学习新课，圆的一般方程．

教师板书：圆的一般方程

使学生

明确本节课的学习内容。

学生活动：先独立思考，自主探究后，再次方程是否表示圆的方程？生思考圆的方程的要求，想到与前后同学合作交如果是，请求出圆的圆心及利用配方法将展开式化成圆流。

的标准方程的形式，并引导学半径。

生生互动：在教师引生总结在什么情况下，它的轨导下，合作交流，共 迹是圆、点或无轨迹。

同探讨方程22合

22(1)x+y-2x-4y+1=0组织学生分析讨论，给学x+y+Dx+Ey+F=0表作

22生充足的时间讨论，并作适当示的图形。

教师活动：提出问题. 引导学从特殊

到一般，从具体问题入手，从而找到配方的办法来解决问(2)x+y-2x-4y+5=0题。让探

的引导。

共同探讨后，达成共学生经22(3)x+y-2x-4y+6=讨

【师生互动】：教师巡视指导，识：先将方程配方，历知识

再与圆的标准方程形成的参与学生的讨论。

比较。

过程， 体会数形结合

思想，加深对知识的理解。

问题3：例1 判断下列二元一

1、初步探讨：将方程进行配

让学生

方，再与标准方程进行比较

教师活动：引导学生进行判断

学生活动：进行判断

积极主合

动地参22作

、

交

流

(1)（x-1）+（y-2）=4；2+2=0；(2)（x-1）（y-2）

2+2=-1(3)（x-1）（y-2）

与到讨论中来，成为学习的主人，

让学生经历知识形成程，体会知识的来龙去脉，加深对知识的理解。

教师活动：引导先将方程配学生活动：在教师的的过方，再与圆的标准方程比较。引导下通过观察、分

教师板书：

析后发现：

2、探讨形成：将方程

22x+y+Dx+Ey+F=0什么时候才当D2+E2-4F＞0时

D2E2D2E24F

表示的是圆的方程？

(x)(y)

224

①

方程①表示一个以师：请同学们观察方程①，可

以看出什么？

DE(1)当D2+E2-4F＞0时，方(,)为圆心，

教师提示学生：先把方程①与22程①表示

一个圆；

标准方程比较，再分类讨论。

当D+E-4F＞0时，方程①表示什么？

22

122DE4F为2

半径的圆；

使学生教师继续引导：当D2+E2-4F = 学生回答：当

D2+E2-4F = 0时，方学会归0时，又表示什么？

纳总结

教师预设：当学生回答不明确程①表示一个点

（2）当D2+E2-4F = 0时，方时，教师作适当的提示：当DE

.归程①表示一个点；

(,)

D2+E2-4F = 0时，方程①

22

纳

总

结

、

获

得

新

只有实数解x

教师设问：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0有没有实22DE,y

22

学生回答：没有，因而它不表示任何图形

使学生明确圆的一般方程的定义。

加强巩固会通过配方法判断方程所表示的图形和求圆的半径及圆心坐标。

让学生通过归纳得出圆的一般方程的形式特点，体会圆知

(3)当D+E-4F＜0时，方程

①不表示任何图形。

2.归纳总结：

数解？．

学生活动：归纳总结：方程教师活动：教师在学生基础上x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形分别是圆、梳理思路，板书：方程点或不表示任何图x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形。

形分别是圆、点或不表示任何

图形。

师：根据以上结论，请同学们学生口答：

给出圆的一般方程的定义。

当D2+E2-4F＞0时，【教师活动】板书：

方程22x+y+Dx+Ey+F=0称圆的一般方程的定义

为圆的一般方程．圆当D2+E2-4F＞0时，方程心坐标为：DEx2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一(,)，半径为：22般方程。

122DE4F

2DE圆心坐标为：(,)，半径

22

1

为：D2E24F

2

教师强调：不要死记结果，要熟记通过配方求圆心和半径

的方法。

学生活动：独立完教师活动：巡视学生完成情成，并回答问题。

况，对学生的回答作点评，给出正确答案，同时强调：方程

中隐含条件以及分类讨论的

情况。

22

方程x+y+Dx+Ey+F=0表示

的图形分别是圆、点或不表示任何图形．

直

接

应

用

、

内

化

新

知

3.提出概念：（圆的一

般方程的定义）

4.巩固练习：

深

1、下列方程各表示什么图形？

入

22(1)xy0

探

究

(2)x2y22x4y60

、

自

主

学

习

举例分析

、

应用新知

问题4：圆的一般方程有什么特点？

三、例题精讲

方程求圆的方程，并化为一般方程。

例1

求过点A(5，-1)，圆方程，并化为一般方程

学生活动：归纳结论：

的标准方程和圆的一般方程各自的优点。

进一步巩固学生能够利用圆的标准方程求解圆的方程，并加强圆的标准方程与一般方程的转化。

(3)x2y22axb20

2、求下列各圆的圆心和半径

(1)x2y26x0

(2)x2y22by0

(3)x2y22ax23y3a20

教师设问：圆的一般方程有什(1)x2和y2的系数相么特点？

同，不等于零，即教师活动：引导学生比较二元A=C≠0；

二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，与圆(2)没有xy项，即的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，B=0；

(D2+E2-4F＞0)。

教师强调：1.条件(1)、(2)是

二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；

2.只要确定了D、E、F即可写

出圆的一般方程。

教师活动：巡视学生完成情况，并请一位学生上黑板展示，教师点评学生的回答。

教师预设：

解：（利用待定系数法）

【学生活动】：

独立完成，认真作题型一：利用圆的标准设圆的方程为：

(x8)2(y3)2r2

∵圆经过点A（5，-1）

∴(58)2(13)2r2

r213

心在点C(8，-3)的圆的一般∴(x8)2(y3)213

答，学生自愿到黑板通过利用圆的上展示各自解法：

方程的

两种形式求解

圆的方

程，进

一步体

会各自的优

点，并掌握待

定系数法求解学生活动：在老师的圆的方

引导下，认真完成，程的方教师活动：引导学生尝试利用并体会如何根据题法。

圆的方程的两种形式求解圆目条件,恰当选择圆

的方程，并引导学生小结例1、方程形式。

例2：一般说来，如果由已知

条件容易求圆心的坐标、半径

或需要用圆心的坐标、半径列

题型二:求利用圆的一般方方程的问题，往往设圆的标准

方程；如果已知条件和圆心坐

程求圆的方程：

标或半径都无直接关系，往往

例2

求过三点O(0，0)、设圆的一般方程。

M1(1，1)、M2(4，2)的圆的方

程。

教师预设：

让学生

解：（利用待定系数法）

进一步

设圆的方程为：体会如

反

何根据x2+y2+Dx+Ey+F=0，

题目条馈

由题意得，

件,恰训

F=0 当选择

练

圆方程D+E+F+2=0

形式，、

4D+2E+F+20=0

并加强形

解之得，D=-8，E=6 待定系

成

∴圆的方程为：数法求

方

解圆的x2+y2-8x+6y=0，

方程的法

学生活动：独立完方法.

成.

教师活动：让学生先独立思

考，自主完成，教师纠错，并

给予适当的点评，出示正确答

案.

四、反馈练习：求过三点A(-1，5)、B(-2，-2)、C(5，5)的圆的方程。

课

（1）知识性小结：

堂

问题5：通过这节课的小

学习你获得了哪些知识？

结

教师活动：引导学生回顾本节学生活动：回顾本节通过学

生的小课所学知识要点，点评学生小课的知识要点与方结，加结，并加以归纳补充：

法，认真总结，并认深对新真听取老师的补充。

知识的

、

升

华

课

题

（2）方法性小结：

问题6：通过这节课的学习你掌握了哪些数学思想和方法？

1.本节课的主要知识点：

（1）圆的一般方程及其形式特点；

（2）圆的一般方程与圆的标准方程的转化；

（3）用待定系数法求圆的方程。

2.本节课用的数学方法和数学思想: ⑴数学方法: 配方法、待定系数法。

⑵数学思想: ①

数形结合的思想；

②

转化的思想； ③

分类讨论的思想；

④

方程的思想。

记忆，通过老师的补充升华本节课的课题。

简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆。

课

后

作

业

针对学生实际，对课后书面作分两个层次留作业，巩固所

学新知○1巩固型作业：（必做题）

业实施分层设置。

第一层次要求所有识，加学生都要完成，第二深对新P90 习题7.6 5，6 层次要求学有余力知识的理解。的同学完成。

○2思维拓展型作业：（选作能在作题）

业中发现和弥

补教学中的不足。

1、分层作业

十一、板书设计

一、复习引入：把圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2展开：

二、新课讲解

课题：圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方：(xD2)2(yE2)2D2E24F4

归纳总结：当D2+E2-4F＞0时，

当D2+E2-4F = 0时，

当D2+E2-4F＜0时，

提出概念：圆的一般方程的定义

三、例题精讲

例1、

例2

四、反馈练习

五、课堂小结

（1）知识性小结

（2）方法性小结

六、课后作业