1.1.4 投影与直观图课件配套优秀公开课教案设计

1.1.4 投影与直观图

1.了解中心投影和平行投影的概念.(重点) 2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤.(重点) 3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图.(重点) 4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图.(难点)

[基础·初探] 教材整理1 投影的概念

阅读教材1.投影的概念

(1)定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影. (2)投影线：光线. (3)投影面：留下影子的屏幕. 2.投影的分类

(1)中心投影：光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影.中心投影的投影线交于一点. (2)平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.平行投影的投影线是平行的.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)矩形的平行投影一定是矩形.(

) (2)平行四边形的平行投影可能是正方形.(

) (3)两条相交直线的平行投影可能平行.(

) (4)如果一个三角形的投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线.(

) 【解析】

利用平行投影的概念和性质进行判断. 【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

教材整理2 斜二测画法

1

阅读教材P17 1.直观图的概念

(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图. (2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形. 2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. (2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段. (3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半. 3.立体图形直观图的画法

画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变.其他同平面图形的画法.

[小组合作型] 中心投影与平行投影

如图1­1­45，点E，F分别是正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图中的________.(要求把可能的序号都填上)

图1­1­45

2

【精彩点拨】

利用点B，F，D1，E在正方体各面上的正投影的位置来判断. 【自主解答】

其中②可以是四边形BFD1E在正方体的面ABCD或在面A1B1C1D1上的投影. ③可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的投影. 【答案】

②③

画投影图的关键及常用方法

1.关键：画一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点，端点等)及这些关键点的投影，再依次连接就可得到图形在投影面上的投影. 2.常用方法：投影问题与垂直关系紧密联系，投影图形的形状与投影线和投射图形有关系，在解决有些投影问题时，常借助于正方体模型寻求解题方法.

[再练一题] 1.在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列判断正确的是________.

图1­1­46

①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；

②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；

③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形. 【解析】

①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的边长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，∴四边形AGD′E是平行四边形.但AE＝1，D′E＝5，故四边形AGD′E不是菱形；对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确. 【答案】

①③

画平面图形的直观图

按图1­1­47的建系方法，画水平放置的正六边形ABCDEF的直观图.

3

图1­1­47

【精彩点拨】

按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图.

1.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点. 2.画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.

[再练一题] 2.用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图1­1­48所示.

图1­1­48

【解】

画法：(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(如图②).

①

1(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点2画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.

②

(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图. 画空间几何体的直观图

4

画出边长为2cm的正方体的直观图

【精彩点拨】

画轴→画底面→画顶点→成图

1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可. 2.直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变.”

[再练一题] 3.用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图. 【解析】

(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.

(2)画底面：在面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱：过A、B、C、D、E、F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长. (4)成图：顺次连线A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示.

[探究共研型] 直观图的还原和计算问题

探究1 如图1­1­49，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判

5

断△ABC的形状？

图1­1­49

【提示】

根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形. 探究2 若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？

【提示】

由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝AC＋BC＝10. 探究3 若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？

1【提示】

原三角形面积为S＝a·h(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，222a′＝a，h′＝h·sin 45°＝122112212h，S′＝a′·h′＝a·h＝×a·h＝S. 4224424

如图1­1­50，某四边形的直观图为腰和上底长均为1的等腰梯形，∠B′＝∠C′＝45°，求原四边形的面积.

图1­1­50

【精彩点拨】

可用斜二测画法的逆步骤还原得原四边形，先确定点，再连线画出原四边形，再求其面积. 【自主解答】

取B′C′所在直线为x′轴，因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′为y′轴，过D′点作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于点E′，则B′E′＝A′D′＝1，又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形，所以E′C′＝2.再建立一个直角坐标系xBy，如图：

在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋2，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2，过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的实际图形.四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋2，高AB＝2，所以四边形ABCD11的面积S＝AB·(AD＋BC)＝×2×(1＋1＋2)＝2＋2. 22

6

1.还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段.平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 2.求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解. 3.原图的面积S与直观图的面积S′之间的关系为S＝22S′.

[再练一题] 4.如图1­1­51，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为(

)

图1­1­51

A.22a

B.22a2

C.a2

D.2a2

4【解析】

由直观图还原出原图，如图，在原图中找出对应线段长度进而求出面积.

所以S＝a·22a＝22a. 【答案】

B 2

1.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是(

) A.直角三角形的直观图仍是直角三角形

B.梯形的直观图是平行四边形

C.正方形的直观图是菱形

D.平行四边形的直观图仍是平行四边形

【解析】

由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确. 【答案】

D

7

2.如图1­1­52所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为(

)

图1­1­52

A.平行四边形

B.梯形

C.菱形

D.矩形

【解析】

因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形. 【答案】

D 3.如图1­1­53所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.

图1­1­53

【解析】

画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为2. 2

【答案】

2

24.如图1­1­54所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.

图1­1­54

【解析】

由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，

1∴S△AOB＝OA·OB＝6. 2【答案】

6 5.画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图.

8

【解】

(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.

(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，

13在y′轴上截取O′A′＝AO＝ cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图.

249