2.4.1 空间直角坐标系教案设计（一等奖）

4.3.1 空间直角坐标系

一、教学目标

1. 让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法．

2. 理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．

3. 进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力．

二、学情分析

点在三维空间内位置的确定是一个比较抽象的过程，学生在这个方面还没有形成清晰的认识，教学时应充分类比以往点在直线、点在平面内位置的确定方式．通过实例，激发学生的学习兴趣与探索欲望，充分发挥学生的主体作用，引导学生顺理成章地得出通过建立空间直角坐标系利用点的坐标来确定点在空间内的位置．要特别强调点与坐标的一一对应关系，来强化对点的坐标的理解．围绕在空间直角坐标系中点的坐标的确定这一教学重点，通过巩固与练习反复强化如何在坐标系中利用点的坐标的概念来确定点的坐标这一过程，以巩固学生对新知识的理解，实现从感性认识到理性认识的飞跃．

三、重点难点

理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．

四、教学过程

（一）问题情景

（1）如何表示一条笔直的公路上的一辆汽车的位置。

答：以公路上某一地标为原点画一条数轴，在用实数表示汽车的位置（数轴的三要素）。

（2）某人去看电影，他的电影票如图所示，那么他的座位怎么确定。

答：其实电影票上的几排几座对应一个有序实数对，相当于建立平面直角坐标系（用两个实数组成的有序实数对表示位置）。

（3）如何确定一个点在三维空间内的位置？

例：如图，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？

（二）建立模型

1.空间直角坐标系的定义

在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义．

从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立

了空间直角坐标系O—xyz，点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面．

★教师进一步明确：

（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系．

（2）将空间直角坐标系O—xyz画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴成135°，而y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单位长度的一半，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等．

2.空间直角坐标系O—xyz中点的坐标．

★思考：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？

在学生充分讨论思考之后，教师明确：

（1）过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，这样，对空间任意点A，就定义了一个有序数组（x，y，z）．

（2）反之，对任意一个有序数组（x，y，z），按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A．

【练习】设ｚ为任意实数，相应的所有点P（1，2，z）的集合是什么图形？

这样，在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组（x，y，z）之间就建立了一种一一对应关系：A （x，y，z）．

教师进一步指出：空间直角坐标系O—xyz中任意点A的坐标的概念

对于空间任意点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序数组（x，y，z）叫作点A的坐标，记为A（x，y，z）．（如图）

（三）例题解析：

例1. 在空间直角坐标系O—xyz中，作出点P（5，4，6）．

注意：在分析中紧扣坐标定义，强调三个步骤，第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位（如图）．

例2. （1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？

（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？

【变式】写出坐标平面yOz上∠yOz平分线上的点的坐标满足的条件？

例3. 已知长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z

轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．

注意：此题可以由学生口答，教师点评．

讨论：若以C点为原点，以射线CD，CB，CC′方向分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？

得出结论：建立不同的坐标系，所得的同一点的坐标也不同．

例4.结晶体的基本单位为晶胞，如图所示为NaCl的晶胞（看成是8个棱长为1/2的小正方体对集成的正方体），其中红点代表钠离子，黑点代表氯离子，建立空间直角坐标系后，写出全部钠离子所在的位置。

zyx

（四）［练

习］

1. 分别写出点（1，1，1）关于各坐标轴和各个坐标平面对称的点的坐标．

3. 试将平面直角坐标系中的两点间距离公式类比到空间直角坐标系中去．

1. 在空间直角坐标系中，画出下列各点：A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，－2）．

2. 已知：长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以这个长方体的顶点B为坐标原点，射线AB，BC，BB′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．

3. 写出坐标平面yOz上∠yOz平分线上的点的坐标满足的条件

活动5【作业】作业

1. 分别写出点（1，1，1）关于各坐标轴和各个坐标平面对称的点的坐标．

2. 设ｚ为任意实数，相应的所有点P（1，2，z）的集合是什么图形？

3. 试将平面直角坐标系中的两点间距离公式类比到空间直角坐标系中去．