本章小结优秀公开课教案

《常见几何体的外接球》 教学设计

授课教师：大连市第二中学 李家根

教材：人教B版必修2第一章

一、教材分析

本节选至高中数学人教B版必修二第一章第6小节，立体几何在整个高中数学中占有重要的地位，而球是重要的简单几何体之一。在10年全国新课标卷中共有7年考查球，均以选择题、填空题出现，在原来“了解球的三视图、表面积和体积公式”的基础上考查了球的几何结构特征、几种特殊几何体的外接球、内切球等几何模型。其中外接球是主要的考查内容，近两年融入了切、割、挖后的球的三视图等考查内容。

二、学情分析

经过一轮的复习，学生已经熟知球的体积和表面积公式，认识了特殊几何体的外接球模型，并了解了计算外接球半径的方法，但仍不熟练，在遇到复杂的图形时，学生对于如何判断球心的位置，利用球的几何结构特征建构直角三角形计算球的半径或通过补形解决球半径问题上仍感觉力不从心，无法快速的选择合适的方法解决外接球的问题，因此，我们希望通过本轮的复习，再次帮助学生建构球的几何结构特征，梳理解决特殊几何体外接球的解题方法，让学生对球成竹在胸，建立解题信心。

三、教学目标

1.知识与技能：会用直接法、补体法、球心定位法找球心；

2.过程与方法：建立空间感，体会转化的数学思想方法；

3.情感态度与价值观：养成在日常生活中思考问题的习惯，运用数学抽象维方式思考并解决问题。

四、教学重难点分析及解决措施

重点：运用补体法找常见几何体外接球的球心

难点：利用球心定位法判断外接球球心位置并计算外接球半径。

解决措施：对教材课后习题进行改编，步步变式，通过PPT、微课先让学生有直观认识，学生总结规律后再动手画图，并对重点强调讲解。同时，教师对例题进行讲解深入分析，让学生类比独立完成，达到突破难点的目的。

五、教学方法

1.教师进行问题驱动式教学，通过对教材课后题和高考真题的改编，步步深入，指导学生主动参与归纳寻找不同几何体外接球球心的方法和应用，对学生探究的结果及方法应用的成果展示做合理的评价。

2.学生采取自主探究、小组讨论、合作交流的学习方式，并展示自己的学习成果。

六、教学过程分析

教学内容与问题设置

一、

新课导入：

蛟龙深海下潜器中的封闭舱是一个球体，舱内有一正四面体形状的支架，棱长为a，技术人员需要将舱内涂上防腐涂层，为了估算涂料的用量，需要计算出舱内表面积，同学们，如果你是这名技术人员，如何通过四面体的棱长求出外接球即封闭仓的表面积。

二、

复习旧知：

设计意图

宣传社会主义核心价值观，培养学生爱国主义情怀，并导入新课，激发学生学习兴趣

1、

多边形的外接圆定义：

若多边形的各顶点都一个圆上，这个圆叫做多边形的外接圆。为新课教学打下基础，

外接圆圆心到每个顶点的距离相等。

做好知识准备

正三角形的外接圆圆心在中心位置

直角三角形的外接圆圆心在斜边中点处

一般三角形的外接圆半径可由正弦定理

abc2RsinAsinBsinC求得

2、多面体的外接球定义：

若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，这个球是这个多面体的外接球，外接球的球心到各个顶点的距离相等。

三、合作探究

活动一：直接法找外接球球心

通过微课复习直接法寻找规则几何体（长方体、直棱柱、直棱锥）外接球球心

复习基本模型外接球问题。

从学生熟悉的几何体开始复习，为进一步学习做准备。

拓展熟悉的模型，简单外接球问题利用规则的长方体外接球问题处理

构建圆柱模型：解决任意直棱柱外接球问题

ORBC

（1）先找外接球的球心：

它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；

（2）

再构造直角三角形，勾股定理求解。

利用外接球定义构建圆锥模型

OO1A

问：一个球满足什么条件，我们把它叫做这个圆锥的外接球

问：球心的位置在哪

问：如果给出圆锥的底面半径和母线长，怎么求它外接球的半径

（1）它的球心在正棱锥的高上；

（2）

再构造直角三角形，勾股定理求解。

圆锥模型中的问题

（1）球心是否一定在棱锥内部？

（2）

球心在棱锥外部时外接球半径怎样求？

活动二：补体法找外接球球心

在长方体中画出与长方体共顶点的四面体：

（1）有一个顶点出发的三个直角面的四面体

（2）四个面都是直角三角形的四面体

（3）对棱相等的四面体

直接让学生把几何体进行补体难度较大，通过让学生自己动手画图，让学生对什么样的几何体可以补成长方体求出外接球球心，为下面习题作铺垫。

投影展示

学案反馈

（小组交流）你遇到的哪些多面体的外接球可转化为正（长）方

体外接球问题

1、三条侧棱两两互相垂直的三棱锥，常构造长方体，特别地

，当

三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且相等时，可直接构造正方体．

2、棱锥含有线面垂直关系时，则可将棱锥构造长方体或正方体.

3、正四面体外接球问题可转化为正方体外接球问题.

4、对棱相等的四面体外接球问题可转化为长方体外接球问题.

经历逐渐深入的探究过程，AA有利于培养学生发现问题、变式一：（2010年高考陕西卷理18改编)三棱锥AABC中，面ABC,ABBC，

AA3,AB4,BC5,分类讨论、作图表达、推理若三棱锥AABC的四个顶点在同一球面上，则这个球论证能力，再具体情境中提的表面积为________________ 升直观想象、数学抽象、逻

辑推理的核心素养。

变式二：（2013年高考理12改编)在三棱锥ABCD中,

ACBD2,ABCD3, ADBC4,则三棱锥ABCD外接球的表面积学生通过前面的总结规律，快速的选择合适的方法解为__________

决外接球的问题。通过UMU变式三：(2017宁波市质检10)已知三棱锥AABC的四个顶点软件实现生生互动，师生互均在同一个球面上，其中ABC是正三角形，AA平动。

面ABC，AA2AB23，则该球的表面积为

___________

活动三：球心定位法找外接球球心

三棱锥DABC中，ABC,BCD为边长为a正三角形，面

BCD面ABC,求三棱锥DABC的外接球半径。

通过教师板书例题讲解，

geogebra几何画板展示，

突破教学难点球心定位法

若上题已知条件二面角P-BC-A的平面角改为120°，求三棱锥目的是培养学生独立分析DABC的外接球半径。

问题、解决问题的能力，培

养学生用类比思想去解决问题的意识，使用刚获取的知识来解决问题的意识。

四、应用模型

变式五：正四面体的各个棱长为a,求其外接球半径。（一题多解）

法一：

法二:

法三：

五、直击高考

（2018全国卷Ⅲ）设A、B、C、D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥

解决课前提出的蛟龙号封闭仓表面积问题，强化学生利用直接法、补体法、球心定位法对特殊几何体的外接球的模型的理解和应用，锻炼学生的空间想象力和准确的计算能力。

通过小结，反思学习过程，帮助学生建构球的几何结构特征，梳理特殊几何体外接球的解题方法，加深知识理解。

通过对《九章算数》中，阳马、鳖臑的介绍，了解中华优秀传统文化中的数学成就，体会其中的数学文化。

DABC体积的最大值为（）

A. 123 B. 183 C. 243 D. 543

六、课堂小结

1.直棱柱的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；

2.正棱锥的球心在它的高上；

3.若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.

七、数学文化

2015年6月7日下午，2015年高考文科数学湖北卷上，一道几何题中出现了"鳖臑(biē nào)""阳马"两个名词。数学考试出现古词，迅速在网上传播起来，成为热门话题。文科数学第20题涉及到了《九章算术·商功》里的知识，先解释了什么是"鳖臑"和"阳马"，根据这两个词和相关数据解题

。

且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角

三角形的四面体称之为鳖臑。

在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱

PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE 。

(2015，湖北，20，13分)《九章算术》中，将底面为长方形 (I)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑。若是，写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是，请说明理由; (II)记阳马P-ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求V1/V2的值

七、教学反思

本节课结合我校小组合作探究模式，应用了移动终端类设备，即智能手机和umu软件的结合，使用umu的实时共享照片功能，学生使用手机将解题过程实时上传到大屏幕，同时小组台前展示讲解。课堂上实时互动环节中，同学们兴趣浓厚，积极展示自己，台前展示小组答案，使用大屏幕进行讲解，节省教学时间，课堂气氛良好。课堂小结后，使用umu问卷答题功能，实时统计学生正确率，教师准确掌握学生的学习效果，当堂针对易错点反馈，提高教学效率和质量。