1.3 二项式定理（通用）第一课时教学设计

1.3二项式定理

凤阳中学 李亮

一

、教学目标

1.知识与技能：能利用计数原理证明二项式定理；

会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

2. 过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,体会从特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳，然后证明，最后再应用的思想意识。

3. 情感、态度与价值观：通过本节课的学习，可以培养学生观察、分析、归纳、总结的能力。

二、教学重点与难点

重点：二项式定理

难点：二项式定理的应用

三、教与学过程设计

（一）复习提问、引入课题

1、分类计数加法原理与分布乘法计数原理；

2、组合与组合数

（二）探究归纳、讲授新课

1、探究一

(ab)a2abb

222(ab)3(ab)2(ab)a33a2b3ab2b3

n

(ab)10(ab)9(ab)?

(ab)?思考：快速展开

(a+b)

要解决那些问题？

展开后有多少项? 各单项式的形式？

各单项式的系数？

那么(ab)的展开式是什么？

探究二：

(ab)C4aC4abC4abC4abC4b

分析：404132223344nn(ab)4展开整理后共有5项，(ab)4展开整理后的项分别为a4,a3b,a2b2,ab3,b4

01234系数为C4。

,C4,C4,C4,C4n问：对于任意正整数n，你能猜想一下(a+b)

的展开式并给出证明吗？

0n1n1knkknn猜想：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是ankbk(k0,1,n)的形式，对于每一项ankbk,它是由kk个(ab)选了b，n－k个(ab)选了a得到的，它k出现的次数相当于从n个(ab)中取k个b的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展n开式，这就是二项式定理．

2、二项式定理

1）二项式定理

nn0n1n1rnrrn1(ab)nCnb(nN,r1,2,n)

aCnabCnabCnabn1Cn2）二项式定理的特征

①、公式的左边是二项式，右边是二项展开式，共有n1项，等式即为二项式定理；

②、二项式的次数为n,二项展开式每一项的次数也为n；

③、二项式定理展开式按字母a降幂排列，次数由n递减到0；按字母b升幂排列，次数由0递增到n．[来源:Zxxk.Com]

knkk④

二项展开式的通项: 定理中的Cnab叫做二项展开式的通项. 用Tr1表示.即通项为knkk展开式的第k1项: Tk1=Cnab

012knk⑤二项式系数: 依次为Cn，这里Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)称为二项式系数. 与a、b无关。展开式项的系数与a、b有关。

（三）典例剖析

例、求

(2x1)的展开式？

变式：求(2x1)的展开式？

例、求(2x6616)的展开式

x解：先化简再展开

(2x162x161)()3(2x1)6xxx1013456

C6(2x)6C6(2x)5C62(2x)4C6(2x)3C6(2x)2C6(2x)C63x6012164x3192x2240x16023xxx例：求

(2x1)6的展开式中的第三项？

变式：求

(12x)6的展开式中的第三项？

例：求

(2x1)6的展开式中含有x3的项？

变式：求

(2x1)6的展开式中第二项的二项式系数与系数？

点击高考：（2017年全国卷1）(1162)(1x)x展开式中的系数为___________

2x四、

课堂练习[来源:学.科.网Z.X.X.K]

课本P31

练习1、2 五、

课堂小结

0n1n1knkknn1.

二项式定理：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

2.

思想方法：1.归纳、猜想、证明的数学方法. 2.用计数原理分析二项式的展开过程.