1.2.2 空间中的平行关系教案推荐

课题：直线与平面平行关系中的存在性问题 授课教师：谢德红

一、立体几何教学阶段特点

（一）义务教育阶段：

《义务教育阶段数学课程标准》(2001年)，对于立体几何，注意了学生对“形”的认识这一心理发展过程，将原高中的立体几何初步知识和思想方法渗透到小学、初中，分为三个学段(C 1-3 , 4-6 , 7-9年级)，并给出了每个学段应达到的目标: 1.小学数学，学生学习了几种基本的平面图形，如，直线、三角形、平行四边形、梯形、圆等，学习了边长、角度、面积和体积的度量， 要求：应能够对实物或模型进行辨认、分类，描述特征等，通过观察、操作等活动，获得对简单几何体和平面图形的直观经验;使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换;通过观察物体、认识方向、制作模型、设计图案等活动，发展学生的空间观念; 初中数学，学生进一步学***行四边形、梯形、圆等，学习边长与角之间的数量关系，同时学习了三维空间的图形，如，正方体和长方体，学习了体积公式，学习了三视图，初步感受空间中的位置关系。

要求：使学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想。

（二）高中教育阶段

新世纪的数学迅猛发展，高中数学课程应建立在现代数学的思想基础上，使用适用于高中学生的现代数学方式和语言处理内容，逐步培养学生用数学的眼光分析问题，用数学语言交流。制定中的《高中数学课程标准》，设置出的基本框架具有很大的选择性。分为必修课和选修课。立体几何部分，分为“空间几何”和“空间向量”两部分。

高中数学，学生学习空间中点、线、面的位置关系的判定和应用、学习了空间中几种角的定义和度量、学习了符号化和图形化的数学语言及向量法解决立体几何问题，更为重要的是学习了一种严谨的自我完善和发展的公理体系，培养了逻辑推理、直观想象等重要的数学核心素养。

要求：几何学***致有四个步骤:·直观感知一操作确认一思辨论证一度量计算，具体地：1.空间几何体:在义务教育阶段有关三视图学习的基础上，运用平行投影，进一步掌握画立体图形和视图的方法，熟悉用图象表示空间的位置关系，了解二维图形发展到三维图形性质的异同;2.点、线、面之间的位置关系:通过对大量图形的观察、实验、操作和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用空间几何的数学语言表述几何对象的位置关系，体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题;3.空间坐标系:了解空间坐标系，会用空间直角坐标系刻画点和特殊长方体的位置，了解两点间的距离公式。

以上教学内容充分地体现了代数与几何的关系，体现了数学的本质，即，数学是研究几何图形和数量关系的学科。也真实的体现了数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具。

二、教学内容分析：

几何学主要研究空间图形的形状和位置关系，立体几何图形是三维空间中我们生活的现实，主要研究点、线、面的相互关系，从而达到为我们生活服务的目的，动点问题恰好就是帮助我们更好的培养直观想象的素材，而且这类问题也经常出现在高考题的第三问。空间向量法是代数与几何沟通的桥梁，对于解决立体几何动点问题有着很好的效果，本教学设计以直线与平面平行为研究对象，通过一题多变，培养学生利用向量的方法解决问题，进而增强直观想象的素养，培养发散思维和收敛

思维。

三、学情分析：

学生学习了两周的空间向量，能够比较熟练的利用向量判断直线与平面的位置关系，对于动点问题也有一定的处理能力，缺乏系统的感悟和理解，对于立体几何模型多数学生还停留在代数计算上，对于图形的感觉和想象还有待加强。

四、教学方式：

启发式、小组合作式的学本课堂学习

五、教学媒介：

幻灯片、几何画板、鸿合软件

六、教学目标： 1.在解决存在性的问题中，能利用三点共线转换成向量共线，达到消元的目的。

2.能够通过线面平行的关系，利用空间向量法列出方程，求动点坐标，培养学生方程的思想。

3.通过变式练习，使学生知道相同条件的不同问法，培养学生思维的发散与收敛。

4.经历解决问题的过程，增强空间感，体会完成任务的喜悦，发展直观想象、数学抽象的核心素养。

七、教学重难点：

教学重点：利用向量法解决直线与平面平行的是否存在问题。

教学难点：问题的转换以及求解过程中的计算。

八、教学过程：

（一）、复习导入（问题导读单）

1.直线与平面平行的定义： 。

2.直线与平面平行的判定: （1）几何法：

（2）向量法：

rr3.向量共线的条件：若向量a与b共线，则 。

例： ABC，如图，点B将线段AC三等分，

uuuruuuruuuruuuruuuruuur则有：ACAB，BCAB，ABBC . 4.前测（课前作业）如图，所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直, ADCD,AB//CD，CD2AB2AD.

(Ⅰ)求证：BCBE；

(Ⅱ)若点M是线段EC的中点,证明：BM//平面ADEF．

（试用几何法和向量法两种方法证明）

设计意图：学生通过图形语言和符号语言的形式回忆公式，有利于培养学生直观想象和逻辑推理的素养，培养学生规范书写的习惯，对向量共线的位置关系的复习为学生在动点问题的处理上打下基础，习题的练习起到学以致用的效果。

（二）、例题变式（问题解决和拓展单）

例题：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD//BC，ABCBAD90，

PA底面ABCD.

若PAABBC2，AD4，试问：侧棱PA上是否存在点E，使得BE//平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；

P

A D

B C

活动设计：1.学生完成例题；2.学生展示；3.展示传统几何法的辅助线。

设计意图：练习和巩固空间向量法判断线面平行，发现问题，通过图像上做出展示，培养学生的直观想象能力，加深对向量法的理解。

变式一：

若PAABBC2，AD6，试问：侧棱PA上是否存在点E，使得BE//平面PCD？符合条件的点E是否依然是侧棱PA的中点呢？

P

A D

B

C

活动设计：1.学生根据例题的学习猜测；2.展示解题过程；3.在图像上指出关键的辅助线；4.几何画板动态演示。

设计意图：在向量法能解决问题的前提下，提高学生几何法思考问题的能力，通过动态演示拓展学生思维，抓住问题关键，并得出动点存在的条件

。

变式二：

若PAABBC2，AD1，试问：侧棱PA上是否存在点E，使得BE//平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；

PADB

C

活动设计：1.学生猜测并求解验证；2.展示竖坐标-2的图形。

设计意图：培养数学学习的方法，即：举例-归纳-发现-验证。通过图示增加学生直观想象。

变式三：在变式二的条件下，证明：棱PA上任意一点与点B的连线都和平面PCD相交. P

A

D

BC

活动设计：1.指出问法的不同与联系；2.得出解决办法。

设计意图：通过变式之间的联系，以平行为切入点，利用直线与平面的三种位置关系，得出解决办法，使问题回归到直线与平面平行上来。

（三）、高考链接（拓展单）

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D,E,F,G分别为各边中点，ABBC5，ACAA12

证明：直线FG和平面BCD相交

F

A1B1

DG

C

E

AB

活动设计：学生独立完成。

设计意图：此题2019年北京理科高考试题的第三问，将上一个问题得出的解题方法进行应用，起到巩固的作用，同时达到独立完成高考题的喜悦。

C1（四）、课后作业：

1.如图，在四棱锥PABCD中，△PAD是等边三角形，E为AD中点，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，ABAD，ABAP，CDAD2AB2．

（Ⅰ）求证：平面PAB平面PAD；

（Ⅱ）在棱PB上是否存在点M，使得PD∥平面ACM？说明理由．

BAEDP

C2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD//BC，ABCBAD90，

PA底面ABCD. 若PAABBC2，AD4，

试问：在棱PD上是否存在点F使得平面ACF平行于直线PB？若存在，指出点

F的位置并证明，若不存在，请说明理由；

A B C D P

设计意图：进一步熟练直线与平面平行关系的判定，熟练动点和动直线问题的处理，学***面的问题处理方法。

课后反思：

本节课意图在变式教学中加深学生对题中条件的认识，能清楚的知道条件和问题之间的联系，从而通过几何画板的展示，提升直观想象的数学素养。事实上，学生确实达到了预期的目的，但是自己在展示几何画板之前的分析语言不够简洁、明了，对部分学生来说问题的指向有些模糊，这是我在平时教学中以后要注意和提高的，此外在学生展示活动中，学生讲解的课前和平时指导还需要加强。