1.1.1 构成空间几何体的基本元素ppt配套教案和课堂实录

1.1

空间几何体

1.1.1

构成空间几何体的基本元素

学习目标：1.以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，同时在运动变化的观点下，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系．(重点)

2.了解轨迹与圆形的关系．(重点)

3.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．(重点)

4.理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法．(难点) [自

主

预

习·探

新

知]

1．几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．

2．长方体

长方体可以看作由六个矩形(包括它的内部)所围成的几何体．

(1)长方体的面：围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面，它共有6个面．

(2)长方体的棱：相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱，它共有12条棱．

(3)长方体的顶点：棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点，它共有8个顶点．

3．构成空间几何体的基本元素

点、线、面是构成空间几何体的基本元素．

4．平面及其表示方法

(1)平面的概念：

平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．

(2)平面的表示方法：

图形表示

在立体几何中，通常画一个平行四边形表示一个平面，并把它想象成无限延展的

平面一般用希腊字母α，β，γ…来命名，还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名

符号表示

5.用运动的观点理解空间基本图形之间的关系

1

(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．

6．空间中直线与直线的位置关系

空间中直线与直线有相交、平行与既不相交也不平行三种位置关系．

7．空间中直线与平面的位置关系

(1)直线在平面内；

(2)直线与平面平行：直线与平面没有公共点；

(3)直线与平面相交：直线与平面有且只有一个公共点．

①直线与平面垂直：

如图1-1-1，观察直线AA1和平面AC，我们看到直线AA1和平面内的两条相交直线AB和AD都垂直，容易想象，当AD在平面AC内绕点A旋转到任何位置时，都会与AA1垂直．直线AA1给我们与平面AC垂直的形象，这时我们说直线AA1和平面AC垂直，点A为垂足．记作直线AA1⊥平面AC.直线AA1称作平面AC的垂线，平面AC称作直线AA1的垂面．

图1-1-1 ②点到平面的距离：

在上图中，容易验证，线段AA1为点A1到平面AC内的点所连线段的最短的一条．线段AA1的长称作点A1到平面AC的距离．

8．空间中平面与平面的位置关系

(1)两个平面相交：

两个平面相交于一条直线，此时我们说这两个平面相交．如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，这两个平面就给我们互相垂直的形象，这时，我们就说两个平面互相垂直．

(2)两个平面平行：

2

如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行．

如图1-1-1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，如果面ABCD和面A1B1C1D1分别作为长方体的底面，则棱AA1，BB1，CC1，DD1都与底面垂直且等长，我们知道它们都是这个底面上的高，它们的长度称作两个底面间的距离．

[基础自测]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分．(

) (2)直线的移动只能形成平面．(

) (3)平静的太平洋就是一个平面．(

) [解析]

(1)正确．

(2)直线移动可能形成曲面，故错误．

(3)平面是没有大小的，故错误．

[答案]

(1)√

(2)×

(3)×

2．下列说法正确的是________．

(1)长方体是由六个平面围成的几何体；

(2)长方体可以看作一个矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所围成的几何体；

(3)长方体一个面上的任一点到对面的距离相等. 【导学号：90662000】

[解析]

(1)错．因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；(2)正确；(3)正确．

[答案]

(2)(3) 3．下列说法：

①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；

②一个几何体可以没有顶点；

③一个几何体可以没有棱；

④一个几何体可以没有面．

其中正确的个数是(

) A．1

C．3

定有面，④错．]

4．下列关于长方体的叙述不正确的是(

) 3

B．2 D．4 B

[球只有一个曲面围成，故①错，②对，③对，由于几何体是空间图形，故一

【导学号：90662001】

A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体

B．长方体中相对的面都相互平行

C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离

D．两底面之间的棱互相平行且等长

A

[A中只有移动相同距离才能形成长方体．] [合

作

探

究·攻

重

难]

平面概念的理解

下列判断正确的是________．

①平面是无限延展的；

②一个平面长3 cm，宽4 cm；

③两个平面重叠在一起，比一个平面厚；

④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内．

[解析]

①正确．平面是无限延展的．

②不正确．平面没有大小．

③不正确．平面没有厚薄．

④正确．平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内．

[答案]

①④

[规律方法]

1．准确理解平面与平面图形的区别与联系是解题的关键．

2．平面是无限延展的、无厚薄、无大小的图形，但平面图形，如三角形、平行四边形、圆等是有大小的．

3．可以用三角形、平行四边形、圆等平面图形表示平面，但不能说它们是平面．

[跟踪训练]

1．已知下列四个结论：

①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面的形状是平行四边形；③一个平面的面积可以等于1 m2. 其中正确结论的个数是(

) A．0

C．2

B．1 D．3 A

[在立体几何中，平面是无限延展的，所以①③错误；通常我们画一个平行四4

边形来表示一个平面，但并不是说平面就是平行四边形，故②错．] 从运动观点认识几何体

如图1-1-2所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形. 【导学号：90662002】

①

②

③

图1-1-2 [思路探究]

线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．

[解]

①

②

③

[规律方法]

1．点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面．

2．在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟．

[跟踪训练]

2.本例若改为AB与l有如图1-1-3所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形．

图1-1-3 [解]

5

长方体中基本元素之间的关系

[探究问题]

1．射线运动后的轨迹是什么？

[提示]

水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其它情况，可形成曲面．

2．如图1-1-4所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．

图1-1-4 [提示]

面可以列举如下：

平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2. 线可以列举如下：

直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等；

点可以列举如下：

点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2. 它们共同组成了课桌这个几何体．

在长方体ABCD-A′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，

【导学号：90662003】

(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？

(2)与平面BC′平行的平面有哪几个？

[思路探究]

观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．

[解]

(1)与直线B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′. 6

(2)与平面BC′平行的平面为平面AD′. 母题探究：1.(1)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？

(2)与平面BC′垂直的平面有哪几个？

[解]

(1)有平面AB′，平面CD′. (2)有平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC. 2．本例中与棱A′D′相交的棱有哪几条？它们与棱A′D′所成的角是多少？

[解]

有A′A，A′B′，D′D，D′C′，

由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A′D′所成角都是90°. 3．本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示面A′B与面D′C之间的距离？

[解]

A′D′，B′C′，BC，AD的长均可以表示．

[规律方法]

1．平行关系的判定

(1)直线与直线的平行关系：如图1-1-5，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行．

图1-1-5 (2)直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与某一平面不相交，就平行．

(3)平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行．

2．垂直关系的判定

(1)直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直．

(2)平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直．

[当

堂

达

标·固

双

基]

1．下列命题中正确的个数为(

) ①书桌面是平面；②9个平面重叠起来，要比7个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对平的、无厚度的、可以无限延展的抽7

象的数学概念．

A．1

B．2

C．3

D．4 A

[由平面的概念知，只有④正确．]

2．如图1-1-6所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是(

) 【导学号：90662004】

图1-1-6 A．④⑤

C．②③④⑤

3．下列结论正确的个数有(

) ①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线．

A．3个

B．4个

C．5个

D．2个

B

[只有⑤不正确．]

4．线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD－A′B′C′D′. (1)该长方体的高为________；

【导学号：90662005】

(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________；

(3)点A到平面BCC′B′的距离为________．

B．③④⑤

D．③⑤

D

[③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误．]

[解析]

如图，

在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，∴长方体的高为3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm. 8

[答案]

(1)3 cm

(2)4 cm

(3)5 cm 5．如图1-1-7，画出(1)、(2)中L围绕l旋转一周形成的空间几何体．

(1)

(2) 图1-1-7 [解]

(1)L绕直线l旋转一周，所得几何体是由两个底面重合的圆锥拼接而成的，如图(1)；(2)L绕直线l旋转一周，所得几何体是由圆台挖去一个与其上底面同底的圆锥，再拼接一个与其下底面同底的圆锥而成的，如图(2)．

(1)

(2)

9