小结优秀完整教案

§13.1

合情推理与演绎推理小结

一、最新考纲解读

1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．

2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理．

3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 二、考情考向分析

以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中、高档题. 三、重点、难点

重点：掌握一些归纳推理、类比推理、和演绎推理的基本推理方法，通过引导学生观察、发现规律注重培养学生的推理能力。

难点：体会三种推理在数学发现中的作用。

四、教学过程

（一）知识梳理

定义重温

1．合情推理

(1)归纳推理（由学生简单地领学，教师进一步提炼）

①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．

②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理

①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．

②特点：由特殊到特殊的推理．

(3)合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

2．演绎推理

(1)演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

二、题型分类

深度剖析

题型一

归纳推理

多维探究

命题点1 与数字有关的推理 （师生合作探究）

典例1（2013 ·陕西理）观察下列各等式

1.教师引导学生观察，让学生说出发现的规律；

2师生合作完成解答

解析：等式右边取掉绝对值为1，3，6，10，15，21 设这一组数为

,则a2-a12,a3a23,a4a34anan1n

所以an1234n，即3思维升华，总结提高

与数字有关的推理]，观察等号左边式子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．

设计意图：通过学生的观察问题，意在培养学生发现问题、解决问题的能力。

命题点1 ：与数字有关的推理 （学生合作探究）

跟踪训练1（2013 ·

陕西）观察下列各等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ……

照此规律第n个等式为________________________________ an1234nnn1

2

1.学生合作探究完成，并有一位同学上板讲解自已的解题思路；

2.由一位同学点评

设计意图：通过学生合作交流培养学生的合作意识，学生通过上板讲解，培养学生口头表达能力与逻辑思维能力。

命题点3 与数列有关的推理

（师生合作探究）

典例3传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：

①b2 018是数列{an}的第________项；

②b2k－1＝________.(用k表示) 1.解法一引导学生将零乱的数字重新排列，找到规律，意在培养对数字的编排能力。

2师生共同写出数列的通项，培养学生的逻辑思维能力与推理能力。

命题点3 与图形变化有关的推理（引导学生观察规律后说出结论）

典例 3(2017·大连调研)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为(

)

A．21 B．34 C．52 D．55 解析

由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D. 跟踪训练 2将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：

根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是(

)

解析：从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2 017也是箭头垂直指下，之后2 017→2 018的箭头是水平向右，故选A. 思维升华总结提高

归纳推理问题的常见类型及解题策略

(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．

(2) 与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．

(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．

题型二

类比推理师生共研

Sn典例4等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差n为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则2等比数列{Tn}的公比为(

) A. B．q2dnq2 C.q

D.q

n1.师生合作完成解析

1＋2＋…＋(n解析

由题设，得Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bn1q－1)＝bqn1(n1)n2. n12∴Tn＝b1qn，∴等比数列{Tn}的公比为q，故选C. n

2.总结：类比技巧：等差数列的和与差运算，类比为等比数列的积与商运算；等差数列的积与商，类比为等比数列的乘方与开方运算。

跟踪训练已知三角形三边长为a,b,c,面积为S,内切圆半径为r,则r2sabc

利用类比推理，已知四面体P-ABC的四个面的面积为

S1,S2,S3,S4 3V体积为V,内切球半径为R,则R

S1S2S3S4思维升华总结提高(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．

(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．

题型三

演绎推理师生共研

典例5甲、乙、丙、三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所学校里教不同的学科A、B、C已知：

（1）甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；

（2）在哈尔滨工作的老师不教C学科；

（3）在长春工作的教师教A学科；

（4）乙不教B学科。

可以判断乙教的学科是_____ 教法：教师引导后，学生自主学习，并由学生展示学习效果，并由其他同学点评。

设计意图：培养学生的自主学习能力与合作、交流能力。

总结提高：

1.本节课我们学习了哪些知识？

2. 通过本节课的学习你有可收？

谈一谈你的想法。

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