2.2.2 反证法教学实录及点评

2.2.2 反证法教学设计

一、教材内容分析：

本课是教科2003课标版选修1-2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第二课时的内容——反证法。

推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。反证法是继前面学习完推理知识后的证明方法中的一种间接证明问题的基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养学生的逆向思维能力。不过逆向思维也正是本节学习的一个难点，所以，在本节的学习中要注重让学生体会反证法的思考过程及特点，学会建立起使用反证法的意识。

二、学情分析：

反证法的逻辑规则并不复杂，但用反证法证明数学问题却让学生感到困难，原因如下：

反证法主要是需要逆向思维，逆向思维训练和发展都是不充分的；其次反证法中的假设部分涉及命题的否定知识，学生在学习那部分的知识时就存在一定的困难；再有就是本班学生的基础并不是太好，在理解上有一定的困难。

三、教学目标: 1、知识技能：理解反证法的概念，掌握反证法证题的步骤；

2、过程与方法：通过反证法的学习，体会直接证明与间接证明之间的辩证关系；会用反证法证明简单的命题；

3、情感、态度与价值观：通过反证法的学习，培养审慎思维的习惯，认识数学的科学价值。

四、教学重难点: 重点：掌握反证法的证明步骤，体会反证法证明命题的思路方法；

难点：理解反证法中的“假设”内在含义及作用；理解反证法中的矛盾推导。 五、教具准备：多媒体

六、教学过程：

（一）情景导入

教师引导学生分析一则小故事（路边苦李）

王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动。别人问他为何不去。王戎回答说:树在道边而多李，此必苦李。（“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”）小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. 让学生对比王戎和其他小朋友的方法，得出有时候间接证明要比直接证明的方式好一些，从而引出间接证明——反证法。

（二）探究新知

1、得出反证法的定义

通过带领学生分析王戎的证明思想，得出反证法定义。

一般地，假设原命题的结论不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设不成立，从而证明了原命题成立。这样的证明方法叫做反证法。

注：反证法是最常见的间接证法. 2、归纳反证法的证明过程：

三个步骤：反设—归谬—存真

反设——假设命题的结论不成立；

归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；

存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。

（三）合作探究

1、例题解析：（师生合作）

例1、在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠

∠ C 证明：假设∠B ＝

∠ C，则AB＝AC（等角对等边）

这与等角对等边矛盾．假设不成立．∴∠B ≠

∠ C

例2、为什么在三角形中最多有一个直角？你会证明吗？

证明：假设在三角形中有两个直角，则这两个角的和就是180°，再加上第三个内角和就大于180°了。

这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．

∴直角三角形中最多有一个直角。

例3、已知：△ABC 求证：△ABC中最大的内角不小于60°. 证明：假设△ABC中最大的内角小于60°，则∠A<60°,∠B<60°,∠C<60。

∴∠A+∠B+∠C<60°+60°+60°=180°

即∠A+∠B+∠C<180°。

这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．

∴△ABC中最大的内角不小于60°

．

2、知识小结：

（1）用反证法证题时,应注意的事项 : ①周密考察原命题结论否定事项，防止否定不当或有所遗漏；

②推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；

③在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。

（2）常见的关键词的否定形式：

原词语

等于

是

都是

大于

否定词

不等于

不是

不都是

不大于

原词语

任意的

至少有一个

至多有一个

小于

否定词

某个

一个也没有

至少有两个

不大于

对应练习：

命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是

( c ) A．两个内角是直角

B．有三个内角是直角

C．至少有两个内角是直角

D．没有一个内角是直角

3、小试身手：（合作探究）

例4、已知：如图，直线a,b被直线c所截，∠1 ≠

∠2 求证：a∥b 1证明：假设结论不成立，则a∥b ∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 2这与已知的∠1≠∠2矛盾

∴假设不成立

∴a∥b

请同学们用3分钟的时间分组讨论并在练习本上书写证明过程。

再请几个组的代表上来给大家讲述解题思路。

例5、已知a≠0，求证关于x的方程ax=b有且只有一个根. 证明：一方面，∵ax=b，且a≠0，

方程两边同除以a得：x=b/a，

∴方程ax=b有一个根x=b/a，

另一方面，假设方程ax=b还有一个根x0 且x0≠b/a，则由此不等式两边同乘以a得ax0≠b，

这与假设矛盾，故方程ax=b只有一个根．

综上所述，方程ax=b有且只有一个根. （3）反证法的适用范围：

1、否定型命题

2、唯一性命题

3、存在性命题

4、有些肯定型命题

5、某些命题的逆命题

6、含“至多”、“至少”等词的问题

cab总而言之，正难则反！

(四)归纳总结

教师讲述反证法的重要性：数学家眼中的反证法；学生归纳总结本节课的重点内容。

1、反证法的定义及步骤：

2、应用反证法的情形：

3、数学思想方法：转化、化归思想。

(五)课后作业：91页课后练习

(六)板书设计：

2.2.2 反证法

1、反证法概念

2、反证法的证明过程：

反设—归谬—存真

3、反证法的适用范围：

否定型命题、唯一性命题、存在性命题、有些肯定型命题、某些命题的逆命题、含“至多”、“至少”等词的问题。

4、习题过程板演