信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响PPT配套优秀教学设计内容

选修2-3

第二章

随机变量及其分布列

2.5 现代信息技术应用之探究参数μ，σ对正态分布的影响

一.学习目标：

1.应用现代信息技术，通过正态分布的概率密度函数代数性质，进一步发现总结正态曲线的几何性质；应用现代信息技术，通过改变参数μ，σ的取值，了解参数μ，σ对正态分布曲线影响；

2.应用信息技术，掌握利用正态分布的 原则，并应用 原则求概率的方法.

二. 新课导入：

【阅读材料】正态分布是概率统计中最重要的一种分布，它由参数

，

唯一确定，常记为 ，

，其中参数

是反映的随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本数据的均值去估计；参数

是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本数据的标准差取估计。满足

正态分布的随机变量

，可以利用正态分布的概率密度函数

，

（

）及正态分布曲线的性质，求解正态分布相关概率问题。

三.探究学习

探究一：正态分布与正态分布密度曲线

【问题1】同学们知道高尔顿板试验吗？课本表述了高尔顿板试验，研究将小球通过高尔顿板后落人各个小槽中的频率分布情况，试认识什么是正态分布？

〖分析〗如右图所示就是一块高尔顿示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前而挡有一块玻璃，让小球从高尔顿板上方的通道落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后落入高尔顿板下方的某一球槽内。

如果把球编号，就可以考察球到底是落在第几号球槽中，重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入各个球槽内的小球的个数就会越来越多，堆积的高度也会越米越高。各个球槽内的堆积高度反映了小球落入各球槽的个数多少

为了更好地考察随着试验次数的增加，落在各个球槽内的小球分布情况，我们进一步从频率的角度探究一下小球的分布规律。以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标，可以画出频率分布直方图，随着重复次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条“几”字形曲线。

探究二：正态分布曲线与正态分布的概率密度函数

【问题2】经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素共同作用的结果，它的总体密度曲线就会服从或近似服从正态分布曲线，例如某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下的小麦的株高、麦穗长度、单位面积参量等；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等，符合正态分布曲线的随机变量有很多，我们要如何研究正态分布曲线的性质呢？

〖分析〗观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中问高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：

，

，

解析式中的实数

，

是参数，分别表示总体的平均数与标准差，函数

，

的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线，函数

，

称为正态分布的概率密度函数。

通过分析，正态分布的概率密度函数

，

有如下特点

正态分布的概率密度函数是指数型函数，幂的系数是

幂指数是

；

因为

，

，幂底数是

，

，所以

，

在

上恒成立；

，

令

，则

，

易知

，

，所以当

，即

时，

，

取得最大值，最大值为；

令

，则

，

，

函数

在

上递增，在

上递减；

，

函数

是

上递增

综上所述，

，

相应地，正态分布曲线特点

曲线在x轴的上方，与x轴不相交；

2.当

时，曲线位于最高点；

在

上递增，在

上递减。

3.曲线关于直线

对称，

并且当

时，曲线上升（增函数），

当

时，曲线下降（减函数）。

探究三：参数

，

对正态分布曲线影响

yOx〖分析〗（1）利用几何画板，当

一定时，变化

的取值，观察正态分布曲线的变化；

结论：曲线的位置由

值确定，随着的

值变化而沿着x轴平移；

（2）利用几何画板，当

一定时，变化

的取值，观察正态分布曲线的变化；

结论：曲线的形状由

值确定，

值越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；

值越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中。

探究三：正态分布的计算与 原则

若X

，则对于任意实数

，

的概率可以用公式

，

计算，其几何意义为图中阴影部分的面积，所以对于固定的

和

而言，该面积随着

的变化而变化，特别地，有以下结论：

y积分求概率μ－3σOμ－2σμ－σμ＋-aaμ+σμ+2σμ+3σx

正态分布概率相应面积几乎在于区间

，

之内，而在此区间外取值的概率只有 ，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，因此在实际应用中，通常认为服从正态分布

的随机变量X只取

，

之间的值，并简称之为 原则。

求解正态分布概率计算问题时，可以先大致画出正态曲线以及所求概率表示面积，再利用曲线的对称性以及已知区间概率结论，将所求概率做换成已知区间的概率求解。

六.例题讲解：

课后自检