3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案设计（一等奖）

3.2.2

复数代数形式的乘除运算

一、教学目标：

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算

过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

情感、态度与价值观：利用多项式乘除法和复数乘除法的类比,知道事物之间是普遍联系的.通过学习复数乘除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。

二、重难点

考

纲

定

位

1.掌握复数代数形式的乘、除运算．

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．

3.理解共轭复数的概念.

三、教学过程

1.旧知复习

复数的运算

(1)复数的加、减

运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,d∈R),则

①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ________________

②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ________________

练一练

（1）计算(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)= ________________________________ （2）复数z1＝a＋4i(a∈R)，z2＝－3＋bi(b∈R)，若它们的和为实数，差为纯虚数，则a ,b分别为多少？

★共轭复数:

如果两个复数满足实部________，虚部__________________时，称这两个复数互为共轭复数。Z的共轭复数用

________ 表示。即z=a+bi，则________

2、新知提炼

重

难

突

破

重点：1.复数代数形式的乘除运算．

2.复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．

难点：1.复数代数形式的除法运算。

1

探究一、复数代数形式的乘法法则

1．复数代数形式的乘法法则：

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，

则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝

___________. 2．复数乘法法则的运算律：

对于任意的z1，z2，z3∈C，有

交换律

结合律

乘法对加法的分配律

例1

计算（1-2i)(3+4i)(-2+i)

★练一练

计算

（1）（3+4i)(3-4i)

;

(2)

(1+i)2

注意

Z

=

★方法归纳：怎样进行复数代数形式的乘法运算？

1．两个复数代数形式乘法的一般方法：

(1)首先按多项式的乘法展开．

(2)再将i2换成－1. (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

2．常用公式：

(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．

(3)(1±i)2＝±2i.

z1·z2＝____

(z1·z2)·z3＝________

z1(z2＋z3)＝__________

2

探究二

复数代数形式的除法运算

例2：

复数

3

i1



i等于(

)

A.1+2i

B.1-2i

C.2+i

D.2-i

练一练

(1)i是虚数单位，复数7＋i3＋4i＝(

) A．1－i

B．－1＋i C.1725＋3125i

D．－17257＋7i

(2)已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝(

) A．3－4i

B．3＋4i C．－3－4i

D．－3＋4i

(3)复数1＋i1－i2＝________.

★方法归纳

怎样进行复数代数形式的除法运算？

1．两个复数代数形式的除法运算步骤：

(1)把除式写为分式．

(2)分子、分母同时乘以分母的共轭复数．

(3)对分子、分母分别进行乘法运算．

(4)把运算结果化为复数的代数形式．

2．解题时注意以下常用结论：

①1i＝－i；②1＋i1－i1－i＝i；③1＋i＝－i；④a＋bi＝i(b－ai)．

3.新课总结，能力提升

3

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个复数的积与商一定是虚数．(

)

(2)两个共轭复数的和与积是实数．(

)

(3)两个共轭复数在复平面上的对应点关于实轴对称．(

)

(4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．(

) 2．已知i是虚数单位，若复数(1＋ai)·(2＋i)是纯虚数，则实数a等于(

A．2

B.12

C．－12

D．－2 3．(2014·高考大纲全国卷)设z＝10i3＋i，则z的共轭复数为(A．－1＋3i

B．－1－3i C．1＋3i

D．1－3i

)

) 4