利用一个一次函数的图象解决问题教学设计

课题：一次函数的应用（第一课时）

江坝初级中学 邓红彪



教学目标：

知识与技能目标：

1、能通过函数图象获取信息，发展形象思维。

2、能利用函数图象解决简单的实际问题，

3、初步体会方程与函数的关系。

过程与方法目标

：

1、通过方程与函数关系的研究，建立良好的知识联系。

情感与态度目标

通过函数图象解决实际问题，培养学生的数学应用能力，同时培养学生良好的环保意识和热爱生活的意识。

重点：

一次函数图象的应用



难点：

学会解较为复杂的一次函数的应用题. 

教学流程：

一、

课前回顾

1. 什么是一次函数? 若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b (k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数. 2. 一次函数的图象是什么？

一条直线

常数项b决定一次函数图象与

y

轴交点的位置. 二．情境引入

探究1：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度

v （米/秒）与其下滑时间t（秒）的关系如右图所示：

(1)请写出 v 与

t

的关系式； (2)下滑3秒时物体的速度是多少

(1)请写出 v 与

t

的关系式； 设Ｖ＝kt; ∵(2,5)在图象上

∴由５＝2k得，k=2.5 ∴V=2.5t

(2)下滑3秒时物体的速度是多少？

将3s代入V=2.5t，得

V=7.5 总结：

确定正比例函数的表达式需要1个条件

确定一次函数的表达式需要2个条件．

探究1：

在弹性限度内，弹簧的长度

y（厘米）是所挂物体质量

x（千克）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。请写出

y 与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。

解：设y=kx+b,根据题意，得

14.5=b ①

16=3k+b ②

将b=14.5代入②，得k=0.5 所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5 当x=4时，y=0.5×4+14.5=16.5

即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5厘米. 总结：怎样求一次函数的表达式？

这种求函数解析式的方法叫做待定系数法

求一次函数的表达式的详细步骤

１.设——一次函数表达式 y=kx+b或者y=kx；

２.代——将点的坐标代入y=kx+b中,列出关于K、b的方程

３.解——解方程求出K、b值；

４.定——把求出的k、b值代回到表达式中即可.

练习1：

1.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，求它的表达式．

解：设正比例函数y=kx 将点（-1,3）代入其中

3=-1×k，得k=-3 ∴y=-3x

2. 已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0,2)，求直线l的解析式。

解：设直线l为y=kx+b,

∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2 又直线过点（０，２）， ∴２＝－２×0+b, ∴b=2 ∴原直线为y=-2x+2

二、

自主思考

探究2：由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.干旱持续时间

t( 天)与蓄水量V(万米

)的关系如图所示

（1）

水库干旱前的蓄水量是多少？

(2)干旱持续10天，蓄水量为多少？连续干旱23天呢？

分析：干旱10天求蓄水量就是已知自变量t=10求对应的因变量的值------------数

体现在图象上就是找一个点，使点的横坐标是10，对应在图象上找到此点纵坐标的值（10，V）--------形

3连续干旱10天，蓄水量为1000

万米

3连续干旱23天，蓄水量为750万米

（3）蓄水量小于400

时,将发生严重的干旱

警报.干旱多少天后将发出干旱警报? 40天

（4）按照这个规律,预计持续干旱多少天水库将干涸? 60天

还能用其它方法解答本题吗？

（1）设v=kt+1200 （2）将t=60，V=0代入V=kt+1200中求的k= -20，V= -20 t+1200 （3）再代入各组

t 或

V 的值对应的求V 与

t

的值

练习2：当得知周边地区的干旱情况后，育才学校的小明意识到节约用水的重要性，当天在班上倡议节约用水，得到全班乃至全校师生的积极响应。

从宣传活动开始，假设每天参加该活动的家庭数增加数量相同，最后全校师生都参加了活动，并且参加该活动的家庭数 S（

户）与宣传时间 t（天）的函数关系如图所示。

（1）活动开始当天，全校有多少户家庭参加了活动？

200户

（2）全校师生共有多少户？该活动持续了几天？

1000户，20天

（3）你知道平均每天增加了多少户？

40户

（4）活动第几天时，参加该活动的家庭数达到800户？

第15天

（5）写出参加活动的家庭数S与活动时间t之间的函数关系式。

S=40t+200

四、自主探究

探究3：根据图象回答问题：（1）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？（2）摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？

（3）摩托车的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警.行驶多少千米后，摩托车将自动报警？

解：观察图象，得

(1)当y＝0时，x＝500,因此一箱汽油可供摩托车行驶500千米. （2）x从0增加到100时，y从10减少到8，减少了2，

因此摩托车每行驶100千米2消耗升汽油. （3）当y＝1时，x＝450，因此行驶了450千米后，摩托车将自动报警.

做一做：

1．如图，

(1)当y=0时，x=__

-2__ ;

(2)直线对应的函数表达式是_

y=0.5x+1_________．

总结：解答实际情景函数图象信息问题的方法：

法一:图象观察法

法二:关系式计算法

解答实际情景函数图象意义的关键

1：理解横纵坐标分别表示的的实际意义

2：分析已知（看已知的是自变量还是因变量），通过做x轴或y轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值

3、紧扣实际意义去解释点的坐标。

一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？



从“数”的方面看,当一次函数 y =0.5x+1 的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程 0.5x+1=0 的解； 

从“行”的方面看,函数 y =0.5x+1 与 x 轴交点的横坐标即为方程 0.5x+1=0 的解.

五、达标测评

1. 函数y=kx的图象经过点P(3，-1)，则k的值为( D

) A．3 B．-3

11 C．3 D．- 3

2.

若一次函数y=2x+b的图象经过Ａ(-1,1)则b =__3__,该函数图象经过点Ｂ(1，_5_）和点3Ｃ（__

2__，０）。

-3. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空:

2-(1)b=_2_____,k=__ 3___; (2)当x=30时，y=__-18____; (3)当y=30时，x=___-42___。

4.下图 l1 l2

分别龟兔赛跑中路程与时间之间函数图象

（1）这一次是

100

米赛跑。

（2）表示兔子的图象是

l2 。

（3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有

40 米。

（4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑

40 米。

（5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 4

分钟。

六、应用提高

1、某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，有两种运输方式选择，主要参考数据如下：

（1）请分别写出汽车、火车运输的总费用y1（元）、

y2(元）与运输路程x（km)之间的函数关系；

（2）你能说出用哪种运输队方式好吗？

解：

（1）y1=200＋4.5x y2=410＋2.4x

（2）当y1=y2时，x=100 .从函数图象看，当x=100时，两个函数的图象相交于一点，此时两个自变量相同，函数值相同.我认为：当运输路程为100km时，运输方式可选择汽车或火车；当运输路程小于100km时，运输方式可选择汽车；当运输路程大于100km时，运输方式可选择火车；

七、体验收获

今天我们学习了哪些知识？

1、什么是待定系数法。

2、解一次函数应用题的步骤。

七、布置作业

教材93页习题第3、4题。