5 应用二元一次方程组—里程碑上的数优质课一等奖教案

5.3应用二元一次方程组——鸡兔同笼

泾干中学

初二数学

王丹

一、教材分析

《鸡兔同笼》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章第三节的内容。借助鸡兔同笼这一中国古代著名问题，让学生经历二元一次方程组解决实际问题的过程，进行根据实际问题情境列二元一次方程组的训练。

二、设计理念

新课标理念表明：（一）义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展型，使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必学的数学；不同的人在数学上得到的不同的发展.（二）数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成的部分.（三）学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的；有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.（四）数学教学活动必须建立在数学的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者. 三、学情分析

七年级时，学生已经能用一元一次方程及列表法解决实际问题，具备一定的分析问题能力.但在解决实际问题时，学生有时会因思维定势把思维方向定在一元一次方程方法上. 八年级学生已具备了一定的自学能力，所以本节课为学生创造了自己动手、自己探索、合作交流等机会，促使学生在自主合作的探索中学会如何学习. 四、教法与学法分析

在本节教学中，我始终坚持以学生为主体，教师为主导的教学原则，通过师生互动，生生互动，来体现这一数学原则的落实，在整个数学过程中我特别关注学生的有效活动，紧紧抓住学生“动”这条主线、充分利用学生感官来突破难点、关注发展学生的动手能力，采用启发讨论、引导探究、多媒体辅助教学等多种方法，通过丰富多彩的集体讨论、小组活动，以合作学习促自主探究的模式展开教学.充分利用实际问题、古代的趣题，尽可能增加教学过程的趣味性、实践性.指导学生学会与他人合作.

五、教学目标分析

（一）知识与技能

能分析简单问题中的数量关系，建立方程组解决问题. （二）过程与方法

经历和体验列方城组解决实际问题的过程.体会方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发现模型思想的应用意识. （三）情感态度与价值观

1.通过小组交流活动初步成了与探索的态度和团队合作的精神. 2.通过"鸡兔同笼"，学生进一步体会数学与生活的联系，

培养学生爱国主义精神. 六、重点难点分析

（一）教学重点

根据题意找等量关系列二元一次方程组解决实际问题. （二）教学难点

根据题意建立二元一次方程组. 七、教学过程

（一）引入课题，讲授新知

我们伟大祖国具有五千年的文明史，在历史的长河中，为科学知识的创新和发展作出了巨大的贡献，特别在数学领域有[九章算术]、[孙子算经]等古代名著流传于世，普及趋于民众，许多问题浅显易懂，趣味性强，如[九章算术]下卷第三题目“雉兔同笼”等，漂洋过海传到了日本等国，对中国古代文明史的传播起了很大作用。

活动内容1：

今有雉（兔）同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

提问：（1）"上有三十五头"的意思是什么？"下有九十四足"呢？

（2）你能解决这个有趣的问题吗？

（说明：多媒体展示"鸡兔同笼"问题后，说明该问题是古代著名的"难题"，以此激发学生解决问题的好奇心；提出问题后，让学生先思考，后讨论，然后找学生说出他的解题思路，

写出解题过程，让学生讨论对不对，有没有不同的思路和观点；最后在学生充分讨论的基础上，老师用多媒体课件，给出正确的答案.）

1.用一元一次方程求解

解：设有鸡x只，则有兔（35-x）只，得

2x4(35x)94.2x1404x94.

2x46.

x23.35x12.所以有鸡23只，兔12只. 小结：一元一次方程解法优点：

思维便捷些.

一元一次方程解法不足：计算较复杂. 2.用二元一次方程求解：

解：设有鸡x只，兔y只，则

x+y=35，

①

2x+4y=94.

②

①

×2，得

2x+2y=70 ，

③

②－③，得

2y=24，

y=12，

把

y=12

代入①，得x=23. 所以有鸡23只，兔12只. 小结：用二元一次方程组解答优点：思维快速简单.

用二元一次方程组解答不足：计算复杂些. 活动目的：体会解决鸡兔同笼问题的不同思维过程，通过比较算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点，从而感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组，思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性. 活动实际效果：这样，一方面在列方程组的建模过程中，强化了方程的模型思想，并通过比较，感受了列二元一次方程组的优越性，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力；另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学

生解方程组的技能. （二）探究活动，讲授新课

活动内容2：

例1

以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？

提问：1."将绳三折测之，绳多五尺"，什么意思？

2."若将绳四折测之，绳多一尺"，又是什么意思？可以让学生演示. （此时课堂讨论可能很热烈，要注意引导，在充分讨论的基础上，显示完整的解题过程.）

解：设绳长x尺，井深y尺，则

x-y=5 ，

①

3x-y=1.

②

4xx①-②，得

-=4，

34x=4，

12x=48，

将

x=48 代入①，得

y=11.

答：绳长48尺，井深11尺. 活动内容2：小结列二元一次方程组解应用题的步骤

根据上面几例，总结列二元一次方程组解应用题的步骤：列二元一次方程组解应用题的步骤：

根据上面几例，总结列二元一次方程组解应用题的步骤：

1）

2）

3）

4）

5）

审清，找等量关系

设未知数;

列出方程组

解方程组;

检验

6）

作答

并指出：列二元一次方程组解决实际问题的关键是，找出等量关系列方程. 活动意图：此例用于巩固例一中用列二元一次方程组解应用题的思想以及掌

握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤. 活动实际效果：学生在列方程组的建模过程中，一方面强化了方程的模型思想和其优于算术方法的地方即简化了思维过程，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能. （三）例题检测

老师选择同学们熟悉的问题，让学生容易接受、容易理解，并用列方程组思想解决实际问题。

1.西安临潼某景点成人票每张70元，儿童票每张35元.八年级三班班长关冬阳买20张门票共花了1225元，设其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是（ ）

2.列方程解古算题："今有牛五、羊二，值金十两；有牛二、羊五，值金八两.牛、羊各值金几何？

（在引例及例题的基础上，学生已基本掌握了列二元一次方程组解决实际问题的方法，此题可由学生独立完成.当然由于本题是古文，可以先找学生说出题目的大意：5头牛、2只羊共价值10两"金"，2头牛、5只羊共价值8两"金"，每头牛、每只羊各价值多少"金"？在题的结果上强调只要分数表示即可；要学生板书整个解题过程.）

解：设每头牛值"金" x

两，设每只羊值"金" y

两，则有方程：

5x+2y=10 ，

①

2x+5y=8.

②

①×2，得

10x+4y=20 ，

③

②×5，

得

10x+25y=40 ，

④

④-③，

得

21y=20，

解得

y=2120，

把

y=34212021

代入②得：x=20213421. 所以，每头牛值"金"

两，设每只羊值"金"两. 活动意图：让学生通过练习巩固列二元一次方程组解应用题的技能。

活动实际效果：学生能用方程的思想简化思维过程，解决同类古算题. （四）归纳总结

活动内容：

1．

通过前面几个题，你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握的怎样？

2．这里面应该注意的是什么？关键是什么？

3．通过今天的学习，你能不能解决求两个量的问题？（可以用二元一次方程组解决的。

4．

列二元一次方程组解决实际问题的主要步骤是什么？

说明：通过以上四个问题，学生基本上掌握了列二元一次方程组解决实际问题的方法和步骤，可启发学生说出自己的心得体会及疑问. 活动意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化. （五）课后作业

根据学生实际结合新课标要求，采用分类进，让学生爱学、乐学。

P116习题5.4 必做题 1，2，3 选做题4 对于一般完成必做题.对于问题学生完成第1题，对优秀学生全做，使他们各有所需，快乐的学习. 体现分层教学思想，给学生一定的空间，让学生乐于完成作业，激发学生学习兴趣. 八、板书设计

5.3鸡兔同笼

板书

设计

例1 鸡兔同笼 例2 以绳测井

解法1： 列二元一次方程组解应用题步骤 解法2：