正投影名师教学实录

第2课时

正投影

教学目标

知识与技能

1．了解正投影的概念．

2．能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影．

过程与方法

先联系生活中的实例，初步感知正投影，能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念．

情感、态度与价值观

使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识，增强学好数学的信心，培养动手实践能力，发展空间想象能力．

重点难点

重点

正投影的含义及根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影．

难点

归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影．

教学过程

一、创设情境，导入新课

1．什么叫做投影、投射线、投影面、中心投影、平行投影？

2．下面两个图都是表示一块三角板在光线照射下形成的投影，它们的投影线与投影面的位置关系有什么不同？

教师出示问题、图片，引入新课．

学生回顾回答、观察思考，初步感知．

二、合作交流，探究新知

1．课前小组活动：让太阳光照射一根竹筷，在矩形的白纸上形成投影；让太阳光垂直照射矩形白纸，改变竹筷的位置、方向，再观察竹筷影子的变化．

2．把一根直的细铁丝放在三个不同位置：

(1)铁丝平行于投影面；

(2)铁丝倾斜于投影面；

(3)铁丝垂直于投影面．

三种情形下的铁丝的正投影各是什么形状？

结论：(1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB________A1B1；

(2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB________A2B2；

(3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是________．

3．课前小组活动：让太阳光照射一块正方形硬纸板，在矩形的白纸上形成投影；让太

阳光垂直照射矩形白纸，改变硬纸板的位置、方向，再观察其影子的变化．

教师出示教材图片．把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置：

(1)纸板平行于投影面；

(2)纸板倾斜于投影面；

(3)纸板垂直于投影面．

三种情形下纸板的正投影各是什么形状？

结论：(1)当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影与P形状、大小________；

(2)当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影与P形状、大小________；

(3)当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影是________．

归纳：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．

教师引导学生课前实践、体验，课堂汇报交流．

学生小组内合作交流，师生共同归纳总结．

教师出示问题．

学生小组讨论解决．

三、运用新知，深化理解

例1

如图所示，左面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是(

)

分析：依题意，光线是垂直照下的，故只有D符合．故选D. 方法总结：当投影面垂直于入射光线时，球体的投影是圆形，否则为椭圆形．若投影面不是平面，则投影形状要复杂得多．

例2

一个长8 cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影线垂直于α. (1)求影子A1B1的长度(如图①)；

(2)若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后木棒的影长A2B2(如图②)．

分析：根据平行投影和正投影的定义解答即可．

解：如图①，A1B1＝AB＝8 cm；

如图③，作AE⊥BB2于E，则四边形AA2B2E是矩形，∴A2B2＝AE，△ABE是直角三角形．∵AB＝8 cm，∠BAE＝30°，∴BE＝4 cm，AE＝ABcos30°＝4 3 cm，∴A2B2＝4 3 cm.

方法总结：当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等，当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段，可以用解直角三角形求得投影的长度．

例3

在长、宽都为4 m，高为3 m的房间正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡，为

了集中光线，加上了灯罩(如图所示)．已知灯罩深AN＝8 cm，灯泡离地面2 m，为了使光线恰好照在相对的墙角D、E处，灯罩的直径BC应为多少(结果保留两位小数，2≈1.414)?

分析：根据题意画出图形，则AN＝0.08 m，AM＝2 m，由房间的地面为边长为4 m的正方形可计算出DE的长，再根据△ABC∽△ADE利用相似三角形对应边成比例解答．

解：如图，光线恰好照在墙角D、E处，AN＝0.08 m，AM＝2 m，由于房间的地面为边BCANBC长为4 m的正方形，则DE＝4 2

m．∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴＝，即DEAM4 2＝错误!，∴BC≈0.23(m)．

答：灯罩的直径BC约为0.23 m. 方法总结：解决问题的关键是画出图形，根据图形相似的性质和判定解题．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P92练习．

2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂测评”内容．

五、反思小结，梳理新知

1．通过这节课，同学们学到了什么？

2．对本节课你有什么困惑？

六、布置作业

1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．

2．教材P92习题29.1第2，3题．