相似多边形教案和学案内容

3.4 相似多边形

●教学目标

（一）教学知识点

1.相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系. 2.相似多边形的周长比，面积比在实际中的应用. （二）能力训练要求

1.经历探索相似多边形的性质的过程，培养学生的探索能力. 2.利用相似多边形的性质解决实际问题训练学生的运用能力. （三）情感与价值观要求

1.学生通过交流、归纳，总结相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处. 2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识. ●教学重点

1.相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导. 2.运用相似多边形的比例关系解决实际问题. ●教学难点

相似多边形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用. ●教学方法

引导启发式

通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的. ●教具准备

投影片四张

第一张：（记作§4.8.2 A）

第二张：（记作§4.8.2 B）

第三张：（记作§4.8.2 C）

第四张：（记作§4.8.2 D）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据. （让学生把数据写在黑板上）

［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题. 1.两三角形是否相似.

2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流. ［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形. 周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等. ［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？

［生］面积比与相似比的平方相等. ［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题. Ⅱ.新课讲解

1.做一做

投影片（§4.8.2 A）

图4－44 3在图4－44中，△ABC∽△A′B′C′，相似比为4. （1）请你写出图中所有成比例的线段.

（2）△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？你是怎么做的？

（3）△ABC的面积如何表示？△A′B′C′的面积呢？△ABC与△A′B′C′的面积比是多少？与同伴交流. ［生］（1）∵△ABC∽△A′B′C′

ABBCACCDBDAD3∴AB=BC=AC=CD=BD=AD=4. ABC的周长3（2）ABC的周长4. ABBCAC3∵AB=BC=AC=4. lABCABBCAClABCABBCAC∴

333ABBCAC444ABBCAC

=

3(ABBCAC)344. =ABBCAC1（3）S△ABC=2AB·CD. 1S△A′B′C′=2A′B′·C′D′. SABCSABC∴2.想一想

如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比分别是多少？

［生］由上可知

若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比为k，面积比为k2. 3.议一议

投影片（§4.8.2 B）. 如图4－45，四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，相似比为k. 1ABCDABCD32()21ABCD4ABCD2.

图4－45 （1）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？

（2）连接相应的对角线A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？

△A1C1D1与△A2C2D2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？

（3）设△A1B1C1，△A1C1D1，△A2B2C2，△A2C2D2的面积分别是SA1B1C1,SA1C1D1,SA2B2C2,SA2C2D2

SA1B1C1那么SA2B2C2SA1C1D1SA2C2D2各是多少？

（4）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比是多少？

如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？

［生］解：（1）∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2.相似比为k.

（2）△A1B1C1∽△A2B2C2、△A1C1D1∽△A2C2D2，且相似比都为k. ∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2

∴A1B1BCCDAD111111A2B2B2C2C2D2A2D2

∠D1A1B1=∠D2A2B2,∠B1=∠B2. ∠B1C1D1=∠B2C2D2,∠D1=∠D2. 在△A1B1C1与△A2B2C2中

∵A1B1BC11A2B2B2C2

∠B1=∠B2. ∴△A1B1C1∽△A2B2C2. ∴A1B1A2B2=k. 同理可知，△A1C1D1∽△A2C2D2，且相似比为k. （3）∵△A1B1C1∽△A2B2C2,△A1C1D1∽△A2C2D2.

k2(SA2B2C2SA2C2D2)SA2B2C2SA2C2D2k2

照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论. 由此可知：

相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4.做一做

投影片（§4.8.2 C）

图4－46是某城市地图的一部分，比例尺为1∶100000. （1）设法求出图上环形快速路的总长度，并由此求出环形快速路的实际长度. （2）估计环形快速路所围成的区域的面积，你是怎样做的？与同伴交流.

图4－46 解：（1）量出图上距离约为20 cm，则实际长度约为20千米. （2）图上区域围成的面积约为23.7 cm2.根据相似多边形面积的比等于相似比1∶100000的平方，则实际区域的面积约为23.7平方千米. Ⅲ.随堂练习

投影片（§4.8.2 D）

在设计图上，某城市中心有一个矩形广场，设计图的比例尺是1∶10000,图上矩形与实际矩形相似吗？如果相似，它们的相似比是多少？图上矩形与实际矩形的周长比是多少？面积比呢？

答案：相似，相似比是1∶10000. 周长比是1∶10000. 面积比是1∶100002. Ⅳ.课时小结

本节课我们重点研究了相似多边形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方. Ⅴ.课后作业

习题4.11 预习位似图形的定义、性质. Ⅵ.活动与探究

如图4－47已知，M是□ABCD的AB边的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD的面积比是多少？

图4－47 过程：这是一道综合性较高的题目，它考查了相似三角形的性质、面积计算及等积定理等，所以让学生进行讨论、总结，利用所学知识解决这个问题. 讨论结果：

作DN⊥AB于N，过E作GF⊥AB于F. ∵M为AB中点

11∴S△AMD=S△DMB=2S△ABD=4S□ABCD

∵S△MBD=S△MBC（同底等高的两个三角形面积相等）. ∴S△MBD－S△MBE=S△MBC－S△MBE即S△DME=S△CBE

1因此图中阴影部分的面积与平行四边形的面积之比是3. ●板书设计

一、1.做一做

2.想一想

3.议一议

4.做一做

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业