1.1.7 柱、锥、台和球的体积优秀教案案例

丹东二中青年教师汇报课

授课人

课题

闫冰

授课单位

高二、10班

授课时间

课型

2015.01.06 新授课

多面体与它的外接球

知识与技能

教

学

目

标

要求学生学会通过补体、找球心等方法解决多面体外接球的相关问题. 使学生在已有知识的基础上，通过归纳与总结，分析与讨论，共同探究出解决多面体外接球问题的相关方法. 在归纳总结的过程中，逐步养成乐于探索、勇于发现、善于归纳的科学态度，学会用数学的思维方式去解决问题、认识世界. 教学难点

归纳总结多面体外接球问题的解决方法. 教学手段

教师意图

多媒体辅助教学

学生

活动

教师引导

学生回顾

学生积极思考，合作探究，并进行归纳和总结，大胆说出自己的结论.教师及时补充，做好引

导.

过程与方法

情感、态度与价值观

教学重点

教学方法

运用补体、找球心的方法解决多面体外接球的相关问题. 采用启发探究、观察、归纳、

抽象、概括、合作交流的教学方法. 教学内容

一、复习巩固，夯实基础

一、复习巩固，夯实基础

2球的表面积公式：S球面=4R

复习球的表面积及其体积公式，加强对4球的体积公式：V球=R3

球重要性质的理解. 3球的重要性质：

R2r2d2

二、课前检测

通过两道典型例二、课前检测

题回顾长方体外接球问题的解决方式及其351.已知长方体的长、宽、高分别是、、1 ，求长方体外延伸出来的常用方法接球的体积是（ ）. ——补体.

79

36222 A.

B.

C. D.

2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接

球的表面积是4π，则其棱长为（ ）

232232A. B. C. D. 二、灵活应用，形成3333方法

教学过程：学生简单讲解解题过程及应用的方法，多媒体辅归纳总结解决多面体助演示.

外接球问题的第一种三、灵活应用，形成方法

方法——补体.

1.补体

常用结论：2Ra2b2c2（长方体同一个顶点出发的相邻的三条边长分别为a,b,c）

适用条件：①侧棱两两垂直的三棱锥（侧面两两垂直的三棱锥）；（由课前检测2总结可知）

提问：还有哪些多面体可以将其补成长方体解决外接球的相关问题？

例1.在三棱锥P-ABC中，AB=PC=6，AC=BP=BC=AP=5,则该三棱锥的外接球的表面积是 .

适用条件：②对棱相等的三棱锥；

思维发散

提示：如果各个对棱均相等，则这个三棱锥是正四面体，因此正四面体我们也可以通过补体的方式求解其外接球的相关问题. 例2.某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图的轮廓都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 .

适用条件：③三视图均为矩形的三棱锥. 方法一补体常见的三种情况归纳形成. 2.找球心

思路：求解球的相关变量主要是可以求出半径，而如何确定球心位置，找出半径给球定位成是解决球的问题的关键. 由课前回顾的球的重要性质可知：过球的小圆圆心做截面的垂线，球心在垂线上. 下面以小圆内接三角形形状作为区分，找到小圆圆心，进而确定其外接球的球心.

通过小组讨论、多媒体演示使得学生直观感受到补体解决外接球问题的过程.

引导学生带着问题讨论，主动进行合作学习。

师生共同总结，进行归纳，使得补体的方法系统化，形成严谨的思维方式.

除特殊的多面体之外，大部分多面体是需要找到球心，求解半径解决外接球的相关问题的，如何确定球心位置就成为了解决多面体外接球问题最核心的部分.

学生合作解决问题，并进行归纳总结.

培养学生思维发散能力，以不同角度去考虑问题，思维发散能力决定了学生学习的高度.

应用不同的方法解决问题.

(1)底面是直角三角形

例3.（必修二P59-8）A、B、C是球O上的三点，AB=10，AC=6，BC=8，球O的半径等于13，球心O到平面ABC的距离是 .

总结：①球的小圆圆心在底面直角三角形斜边中点处；

(2)底面是正三角形

例4.如图，半径为2的半球内有一个内接正三棱锥P-ABC，则此正三棱锥的侧面积是 .

总结：②球的小圆圆心在底面正三角形的中心处；

变式提高1：

提问：当底面三角形不在球的大圆内，这样的问题应该如何解决. 例5.四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若AB=4，则球O的表面积为 .

(3)底面三角形是非特殊三角形

提问：当底面三角形不是特殊的三角形时，应该如何确定球的小圆的圆心？

变式提高2：

例6.已知三边长分别为4,5,6的△ABC的外接圆恰好是球O

提出问题，帮助学生结合具体问题总结找球心的方法.

变式提高，在原有基础上进一步深化关于底面三角形为等边三角形时找球心的方法.此题可以在课后进行拓展，亦可应用补体的方式解决问题.

由学生总结，强化知识.

通过分类分析，形成学生数学归纳总结的能力.

可以进行一题多解，培养学生空间想象能力.

的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为( ).

变式提高，结合正弦定理解决球的小圆的半径.

总结：③当球的小圆的内接三角形不是特殊的三角形时，可

以不确定圆心的具体位置，直接通过正弦定理求解小圆半径.

方法二找球心（借助球的小圆的圆心位置）的三种情况归纳

形成. 对本课内容进行归三、小结

纳. 对解决多面体外接球的相关问题进行总结，使知识系统化.

四、布置作业

学案C组：课后作业

1.直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在同一球面上，若

AB=AC=AA1=2，∠BAC=120 °，则此球的体积等于 .

2.已知球的直径SC=4，A、B是该球球面上的两点，AB=3，

ASCBSC30，则棱锥S—ABC的体积为（

）.

（A）33

（B）23

（C）3

（D）1

板书设计： 多面体与它的外接球

复习: 1.S球面=4R V球=2

学生讨论归纳，及时解决问题. 22243R 2.Rrd

32222Rabc方法: 1.补体:

适用条件：①

②

③

2.找球心 :Rrd 总结归纳：①

②

③

教学反思：

222

多媒体教学是辅助手段，为了学生更好的接受所学知识，应该配有必要的板书.

通过板书内容，理解本课内容.