1.不等式的基本性质ppt配用优秀教学设计

编号：选修4-5-001

江门一中2019届2017—2018学年度高二数学导学案

不等式的基本性质

[学习目标]

1.理解实数大小与实数运算性质间的关系．

2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式(重点、难点)．

[知识提炼·梳理] 1．实数的运算性质与大小顺序的关系

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：

a＞b⇔a－b＞0；

a＝b⇔a－b＝0；

a＜b⇔a－b＜0．

温馨提示

要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号．

2．不等式的基本性质

(1)对称性：如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b. (2)传递性：如果a＞b，且b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞c⇒a＞c. (3)加法：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，即a＞b⇒a＋c＞b＋c. ①(移项法则)如果a＋b＞c，那么a＞c－b. ②(同向可加性)如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d. (4)乘法：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc. 推论：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd. (5)乘方：如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．

nn(6)开方：如果a＞b＞0，那么a＞b(n∈N，n≥2)．

温馨提示

要注意不等式的性质是否可逆；要注意不等式成立的条件．

[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)若a＞b，则ac＜bc.(

) (2)若ac2＞bc2，则a＞b.(

) (3)若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2.(

) 11(4)若a＞b，＞，则a＞0，b＜0.(

) ab解析：(1)未知c是正数、负数还是零，因而判断ac与bc大小缺乏依据，故该命题是假命题；

(2)由ac2＞bc2知c≠0，故c2＞0，

所以a＞b，故该命题是真命题；

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a＜b＜0a＜b2⇒ab＞b2，

(3)⇒a＞ab，a＜0b＜0所以a2＞ab＞b2.故该命题为真命题；

b－a1111(4)a＞b⇒a－b＞0，＞⇒－＞0⇒＞0.

ababab因为a－b＞0，所以b－a＜0.

所以ab＜0.

又a＞b，所以a＞0，b＜0.

故该命题为真命题．

答案：(1)×

(2)√

(3)√

(4)√

2．已知数轴上两点A，B对应的实数分别为x，y，若x＜y＜0，则|x|与|y|对应的点P，Q的位置关系是(

) A．P在Q的左边

B．P在Q的右边

C．P，Q两点重合

D．不能确定

解析：因为x＜y＜0，所以|x|＞|y|＞0.故P在Q的右边．

答案：B

3．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(

) ababababA.＞

B.＜

C.＞

D.＜

cdcddcdc解析：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，

所以0＜1111＜，即＞＞0.

－c－d－d－cabab＞，所以＜.答案：D dc－d－c又因为a＞b＞0，所以x214．设x∈R，则4与的大小关系是________．

1＋x2x21解析：当x＝0时，4＝0＜.

21＋xx211当x≠0时，，所以2＋x2≥2，

4＝x1＋x122＋xxx2x211所以1时取等号)．综上所述4≤(当x＝±4≤.

1＋x21＋x2x21答案：4≤

1＋x25．比较大小：(x＋5)(x＋7)________(x＋6)2. 解析：因为(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－x2－12x－36＝－1＜0，

所以(x＋5)(x＋7)＜(x＋6)2.答案：＜

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编号：选修4-5-001

江门一中2019届2017—2018学年度高二数学导学案

类型1

用比较法比较大小(自主研析) [典例1]

已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．

解：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x1－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－＋3.

24因为x＞1，所以x－1＞0.

13x－＋＞0，所以(x－1)x－1＋3＞0，

又因为2424所以x3－1＞2x2－2x. 归纳升华

转化1．用比较法比较两式的大小的思维过程：直接判断(无法做到)――→考察差的符号(难转化转化以确定)

――→考察积的符号――→考察积中各因式的符号．其中变形是关键，定号是目的．

2．在变形中，一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．

[变式训练]

设A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且x＞3，试比较A与B的大小．

解：A－B＝x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x＋1)·(x－1)．

因为x＞3，所以(x－3)(x＋1)(x－1)＞0，

所以x3＋3＞3x2＋x.故A＞B. 类型2

利用不等式的性质判断命题的真假

[典例2]

下列命题正确的是(

) 11①若a＞b，且＜，则ab＞0；

ab②若a＞b，且ac＜bc，则c＞0；

cc③若a＞b＞0，且＜，则c＞0；

ab④若a＜b＜0，则ab＜b2. A．①②

C．③④

B．②③

D．①③

222解析：①中，因为a＞b，所以a－b＞0.

1111a－b又因为＜，所以－＝＞0.

abbaab所以ab＞0，故①正确．

②中，因为ac＜bc，所以c(a－b)＜0.

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又因为a＞b，所以a－b＞0.所以c＜0，故②不正确．

c（b－a）cccc③因为＜，所以－＜0，即＜0.

ababab因为a＞b＞0，所以ab＞0，b－a＜0.所以c＞0.故③正确．

④因为a＜b＜0，b＜0，

所以ab＞b2，故④不正确．答案：D 归纳升华

1．在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件恰当地选取使用不等式的性质．否定命题的结论，有时往往举反例．但要注意取值一定要遵循两个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．

2．运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件；要弄清每一个性质成立的条件和结论，注意条件放宽或加强后，结论是否发生了变化．

[变式训练]

判断下列命题的真假．

11(1)若a＜b＜0，则＞；

ab(2)若|a|＞b，则a2＞b2；

(3)若a＞b＞c，则a|c|＞b|c|. 1解：(1)因为a＜b＜0，所以ab＞0，所以＞0.

ab1111所以a·＜b·，所以＜.所以(1)是真命题．

ababba(2)因为|a|＞b，取a＝1，b＝－3，但a2＜b2，

所以(2)是假命题．

(3)取a＞b＞0，c＝0，有a|c|＝b|c|＝0，

所以(3)是假命题．

类型3

求代数式的取值范围

α＋βα－βππ[典例3]

已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．

2222ππππ解：因为

－≤α＜β≤，所以

－≤α＜，①

2222ππ－＜β≤，②

α＜β.③

22πɑ＋βπ由①＋②得

－π＜α＋β＜π，所以

－＜＜.

222ππ由②得－≤－β＜，④

22由①＋④得－π≤α－β＜π.又α＜β，知α－β＜0，

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江门一中2019届2017—2018学年度高二数学导学案

πɑ－β所以－π≤α－β＜0，所以－≤＜0. 22归纳升华

1．求含有字母的数(或代数式)的取值范围，要注意题设中的条件，充分利用已知求解，ɑ－β否则易出错．例如，若忽略

ɑ＜β，则会导致的取值范围变大．

22．利用不等式的基本性质求解，在变换过程中要注意熟练掌握、准确使用不等式的基本性质．

a[变式训练]

已知－6＜a＜8，2＜b＜3，分别求a－b，的取值范围．

b解：因为－6＜a＜8，2＜b＜3，

所以－3＜－b＜－2，所以－9＜a－b＜6，

111则a－b的取值范围是(－9，6)．又＜＜，

3b2a(1)当0≤a＜8时，0≤＜4；

ba(2)当－6＜a＜0时，－3＜＜0.

baa由(1)(2)得－3＜＜4.因此的取值范围是(－3，4)．

bb

1．不等关系与不等式．

(1)不等关系强调的是关系，而不等式则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示．不等关系可通过不等式来体现，离开不等式，不等关系就无法体现．

(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．

2．不等式的性质．

对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质成立的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、很显然的理由代替不等式的性质．

特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．

3．比较两个实数的大小．

要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形方法，如：因式分解、配方法等．

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