三角形内角和定理教案和学案内容

《三角形内角和定理的证明》教学设计

一、课题：三角形内角和定理

二、学习目标：

1、知识与技能目标：掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。

2、过程与方法目标：经历利用剪拼三角形验证三角形内角和定理探索证明思路的过程，初步领会辅助线在证明中的作用。

3、情感态度与价值观目标：通过多角度探索证明思路，体会思维的多向性。

三、教材分析

1、内容分析

三角形内角和定理是“空间与图形”中的一个很重要的定理。

(1)它为以后学习多边形内角和定理奠定基础。

(2)实际生活、生产中有广泛的应用。

(3)是求角度的有力工具（有时非它不可）。

2、学情分析：

（1）学生已经在小学的时候接触过三角形内角和定理，并且进行了猜想与验证及口头说理过程。这为证明三角形内角和定理提供了认知基础。 （2）从学生的学习动机与需要上看，他们有探究新事物的欲望和好奇心，这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障。

（3）学生在学习三角形内角和定理的证明过程中，其认知顺序可能是建构型的。平行线是其原有知识储备的主要图式，他们利用原有图式完全可以同化三角形内角和定理。

3、障碍预测：

辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，并且辅助线的添法没有统一的规律，要根据需要而定，另外本节课开始将训练学生把几何命题翻译为几何符号语言，这对学生来说都有一定接受难度。

五、教学重点、难点

重点：三角形的内角和定理的证明及其简单应用。

难点：三角形内角和定理的证明及辅助线的添加。

六、教学方法：

实验操作法

，讨论法 小组的合作与交流

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七、教学过程

（一）知识回顾，积累经验

1、平行线的判定：

2、平行线的性质： 3、三角形的分类

（二）情景再现，导入新课

我们知道三角形的内角和等于180°，你们还记得这个结论的探索过程吗？

引导学生用准备好的三角形硬纸片剪纸拼图，把∠A剪下放在∠1位置上，∠B剪下放在∠2位置上，拼成一个平角，由此得到三角形的内角和是180°（多媒体展示剪纸拼图过程）。

（三）活用化归，证明定理

这只是实验得出的命题，不能当做定理，那么如何证明此命题是真命题呢？当时我们是把∠A移到了∠1的位置，如果不实际移动∠A，你有什么方法可以达到同样的效果？能否用学过的旧知识作平行线，利用平行线的性质来证明呢？

教师引导，要证三角形三个内角和是180°，能不能象前面那样，把这三个角拼在一起呢？拼成什么样的角呢？（学生思考与180°有关的角后回答，可拼成：①平角，②两平行线间的同旁内角。）要把三角形三个内角转化为这两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢？下面同学们利用准备好的三角形纸片拼一拼，画一画。（用尽可能多的方法）

学生通过自主探究，可以得出以下几种辅助线的作法：

（1）CAB型

A

（2）CBA型

C B A A B A 2 B C D E B C B B C A A E 1 2 D

（3）BCA型

A

（4）B（CA）型

D

C

B A B C AB C B B E C D A A A 根据以上几种辅助线的作法，选择第一种,师生合作，写出示范性证明过程。

老师提出这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？

学生回答需要先画图形，根据命题的条件和结论写出已知、求证。

已知：如图,△ABC．

求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．

（多媒体展示辅助线的添法及证明

的过程，考查学生说理的依据) B C D A E 证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB．则

∠ACE＝∠A(两直线平行，内错角相等)

∠ECD＝∠B(两直线平行，同位角相等)

∵

∠ACB＋∠ACE＋∠ECD＝180°(1平角＝180°)

∴

∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换)

即：∠A＋∠B＋∠C＝180°

我们选择了一种方法来证明三角形内角和定理，那么你们能写出其他的方法的证明过程吗？

教师展示其他添加辅助线的方法

【BCA型B(CA)型】由学生自主完成证明过程后展示并评价书写格式及符号语言的应用。

（四）开启智慧，分组探究

除了以上的方法，你还有新的证法吗? 1、组织学生分组讨论：有了上面的知识作为铺垫，我们可以开展探究活动了，看哪组最先找到解决办法，找到的方法最多。

2、在学生开展探究的过程中，教师参与其中，对个别感到困难的小组可以进行适当的提示和引导。

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3、教师指导学生添加辅助线，给出完整的“三角形内角和定理”的证明

4、分组探究，成果展示

教师指导学生进行全班交流：（1）借助实物投影仪，将学生找到的添加辅助线的方法进行汇总展示。（2）在展示过程中，注意关注学生的表达以及寻找到的添加辅助线的方法，若有不全的，教师进行必要的提示。（3）引导学生将辅助线添加在三角形的顶部，边上及三角形内、外部均可。然后，进一步引导学生比较哪种最好。

（五）实践应用，培养能力

1、随堂练习（例题1的讲解）

我们知道并且证明三角形内角和定理后，对于某些特殊的三角形应予以关注

直角三角形的两锐角之和是多少度? 请证明你的结论。

学生自己独立完成后(对学困生教师可适当指导)，小组交流，集体订正。

2、小试牛刀

（1）在△ABC中，∠ABC=∠C，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∠A=36

如图，求∠ADB的度数。

学生自主探索，教师巡视、诊断，不同解法的学生板演，学生辨析。

（2）如图，在△ABC中， AD垂直于BC,点D为垂足，∠1=∠C。

OA D B C A 求证：△ABC为直角三角形。

（六）知识回顾，拓展延伸，

用运动变化的观点理解和认识数学

在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时, ∠A就越来越大(越来越接近180),而∠B和

∠C,越来越小(越来越接近0).由此00B C D 你能想到什

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么?

如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时,∠A就越来越小(越来越接近0°),而∠B和∠C则越来越大,它们的和越来越接近180°, 当把点A拉到无穷远时,便有AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于180°.由此你能想到什么? （七）畅谈收获，反思升华

本节课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理。在三角形中，求角的大小可将被求角看作三角形的内角来求。证明的基本思想是：借助辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角或两个互补的角．通过本节课的学习,你有哪些收获? （八）课外作业，巩固练习

课外作业：课后习题

教学反思

三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具和基础.而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识，也是学生最为熟悉且能与小学、中学知识相关联的知识，看似简单，但如果处理不好，会导致学生有厌烦心理，为此，本节课的设计力图实现以下特点：

（1）

通过折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验，然后从学生的直接经验出发，逐步转到符号化处理，最后达到推理论证的要求。

（2）

充分展示学生的个性，体现“学生是学习的主人”这一主题。

（3）

添加辅助线是教学中的一个难点，

如何添加辅助线则应允许学生展开思考并争论，展示学生的思维过程，然后在老师的引导下达成共识。

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