6.3 余角、补角、对顶角板书设计及设计说明

6.3《余角、补角、对顶角（2）》教学设计

江阴高新区实验中学 周慧

一、教学目标

1、知识与能力目标

（1）理解对顶角概念；

（2）掌握对顶角的性质，并利用对顶角的性质解决相关问题；

2、过程与方法目标

进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念，学会简单逻辑推理，并能对问题进行合理猜想. 3、情感态度与价值观目标

（1）通过“小孔成像”问题，感受中国古代数学的成就，培养数学兴趣；

（2）在活动中，培养学生独立思考、合作交流的意识；

（3）体验在生活中学数学、用数学的价值，感受学习数学的乐趣．

二、教学重点

理解对顶角概念并掌握对顶角性质．

二、教学难点

理解对顶角概念并应用对顶角性质．

三、教学课时

2课时

四、教具

多媒体课件

五、教学过程

【情景引入】小孔成像：

师：下面我们开始今天的新课，首先请大家阅读这个材料（展示小孔成像图片）

师：我们可以将其数学化，将小孔成像中的光线抽象为两条相交的直线，请仔细观察并思考：图中的两条直线共构成了几个小于180°的角？

生：4个

师：哪4个？

生：∠AOB，∠AOB’，∠A’OB，∠A’OB’

师：观察∠AOB和∠A’OB’，这两个角存在什么样的位置关系? 1 B'AOBA'

师：我们之前学习角的时候说角有哪几个构成要素？

生：两个，顶点和角的两边

师：那先从顶点的角度来看

生：顶点是同一个

师：角的两边呢？

生：在一条直线上

师：角的两边都是射线吧，我们把射线OA反向延长一下，射线OB反向延长一下(作图) 生：反向延长线

师：所以说OA和OA’互为反向延长线，同样的OB和OB’也互为反向延长线

师：我们总结一下，这两对角在位置上的特点有：共顶点，角的两边分别互为反向延长线（PPT）

[设计意图]小孔成像数学化，体现数学来源于生活，让学生更易理解和接受，激发学习兴趣。同一类角的共同点分析，为对顶角本质关系准备。

【对顶角的定义】

师：因此，我们给出对顶角的定义：一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线，我们把这样的

两个角叫做对顶角。

师：如图，我们把

生：∠AOB和∠A’OB’叫做对顶角

师：还有没有对顶角啦

生：∠AOB’和∠A’OB也是对顶角。

师：对顶角是两个角之间的相互关系，所以对顶角必须要成对出现。

师：初步学习了对顶角的概念，同学们，你们在生活中有没有见过有关对顶角的实例呢？

生：剪刀，十字架，伸缩式衣架、加号、乘号

师：下列图形中的∠1 和∠2是对顶角吗？

1A2

1B212C师：首先看A 生：不是

师：为什么？

2

生：两条边不是互为反向延长线

师：B 生：不是，因为两条边不是互为反向延长线

师：C 生：不是，因为两个角的顶点不一样

[设计意图]本组题目是巩固对顶角概念的，通过练习，使学生掌握在图形中辨认对顶角的要领，同时又用反例印证概念，使学生加深印象。

师：很好，那再来看看这题，直线AB、CD、EF相交于点O，图中有多少对对顶角？请分别表示出来。可以先小组讨论交流一下，看看哪个小组找的又快又全

生：共6对对顶角，∠AOC与∠BOD，∠COE与∠DOF，∠AOE与∠BOF，∠AOF与∠BOE，∠AOD与∠BOC，∠COF与∠DOE 师：我们来看看怎么找才能不重不漏

师：这个图形里能不能找到对顶角的基本图形？

生：能，直线AB与直线CD、直线AB与直线EF、直线CD与直线EF 师：直线AB与直线CD构成几对对顶角？

生：2对

师：直线AB与直线EF呢

生：2对

师：直线CD与直线EF呢

生：2对

师：一共有几对

生：6对

[设计意图]本组题目通过让学生找对顶角，再次加深学生对对顶角概念的理解。

【对顶角的性质】

师：我们刚才学习了对顶角共顶点、互为反向延长线这两个位置特点，那请问互为对顶角的两个角在数量上是否存在特殊关系呢？

师：我们可以得出一个猜想

生：相等

师：动手量一量图中四个角的度数，你有什么发现？

师：我们请几位同学回答一下他所测量出的对顶角的大小关系（板书，将对顶角写一起）

师：对，但这终究不够严谨，同学们，你们能够推理证3

明处来吗？如图，直线a、b相交于一点，你能说明∠1=∠3，∠2=∠4吗？

生：∵∠1与∠2互为补角，

∴∠1+∠2=180 ∵∠3与∠2互为补角

∴∠3+∠2=180 ∴∠1=∠3 师：那你证明的依据是什么？

生：同角的补角相等

师：很好，我们根据等角的补角相等这一知识点证明得出结论：对顶角相等。

师：对顶角相等这一性质我们如何用符号语言来表示？

师：以∠1和∠3为例，我们知道∠1和∠3是对顶角，根据对顶角这一性质

生：∵∠1和∠3是对顶角

∴∠1=∠3 师：请大家思考一下，对顶角一定相等，那相等的角一定是对顶角吗？为什么？

生：不一定

师：为什么呢？能不能举出反例，可以上黑板画一下

生：

生：角平分线可以把一个角分成两个相等的角，但这两个角不是对顶角

师：很好，刚才几位同学的展示足以说明相等的角不一定是对顶角

【例题】

师：到目前为止，我们学习了对顶角的概念，也学习了对顶角的性质，下面来看一道例题

师：

如图，AB、CD相交于点O，∠DOE =90°，∠AOC=72°，求∠BOE的度数。

师：AB、CD相交于点O你能得到什么？

生：有对顶角

师：我们继续把题目中的条件标在图中；好，现在大家有没有什么思路？

生：因为∠AOC和∠BOD是对顶角，所以∠BOD=∠AOC=72°

师：这里的依据是什么？（标出∠BOD）

4 ECOADB

生：对顶角相等

师：很好，继续

生：然后因为∠DOE =90°，所以∠BOE=∠DOE-∠BOD=18°

师：很好，请坐。大家和他是一样的思路吗？

生：是

师：解题思路有了，下面我们就来一起整理一下解题过程

师：解：∵∠AOC和∠BOD是对顶角

∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等）

∵∠AOC=72°

∴∠BOD=72°

∵∠BOE=∠DOE-∠BOD，∠DOE =90°

∴∠BOE=90-72=18°

【设计意图】：让学生掌握分析问题的方法，逐步熟悉并学会书写格式。

师：整理好了吗，整理好了我们来看一道练习，先小组内讨论解题思路，我们再请小组分享。（如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠AOE=25°,求∠BOD，∠AOD）

师：讨论出结果了吗？

师：请一位小组派出代表阐述一下思路

生：∠AOC和∠BOD是对顶角，因为对顶角相等，所以要求∠BOD，只需要求∠AOC，而OE平分∠AOC，可以得到∠AOC等于2倍的∠AOE=25°等于50°，然后∠AOD等于180°减去∠BOD，就得到了。

生：解：∵OE平分∠AOC ∴∠AOC=2∠AOE=2∠COE ∵∠AOE=25°

∴∠AOC=50°

∵∠AOC和∠BOD是对顶角

∴∠AOC=∠BOD=50°

∵∠AOD和∠BOD互为补角

∴∠AOD=180°-50°=130°

师：好了吗？我们一起来看一下，这位同学，上来和大家阐述一下你的思路

生：OE平分∠AOC说明∠AOE=∠COE，所以∠AOC=2∠AOE=50°，然后∠AOC和∠BOD是对顶角可以得到∠AOC=∠BOD=50°，∠AOD和∠BOD互为补角，所以∠AOD=180°-50°=130°。

师：好，思路正确，那小组的组长来点评一下你组员的解题过程

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生：挺好的，正确

师：其他组有没有不同看法的？

生：第4行那里，应该是∴∠AOC=2∠AOE=50°，

还有最后一步，应该是

∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-50°=130°

师：我们这位同学很细致，很好，我们的过程一定要详细清楚

【设计意图】让学生分组讨论，先分析能求出哪些角的度数，然后整理思路，学生板演具体过程。启发学生分析问题时要充分利用已知条件，如对顶角、角平分线、补角等。

【课堂练习】

1．如图，∠1和∠2是对顶角的图形有 ( A )

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2．如图，若∠AOE＝50°，∠BOD＝25°，则∠COF＝ 105 °

3.如图，直线AB、CD相交于点O，OC是∠AOE的平分线，∠BOD=80°，求∠BOE的度数. 解：∵∠AOC和∠BOD为对顶角

∴∠AOC=∠BOD ∵∠BOD=80°

∴∠AOC=80°

∵OC是∠AOE的平分线

∴∠AOE=2∠AOC=160°

∵∠BOE=∠AOB-∠AOE ∴∠BOE=180°-160°=20°

【设计意图】先让学生独立完成以上题目后，小组再相互讨论答案，最后教师选派小组代表统一答案，讲解疑难，巩固一节课的学习成果。

【学习感悟】

师：请同学们再来谈一谈，今天你有哪些收获？

生：今天，我们认识了对顶角，还知道了对顶角相等

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【板书设计】

板书1

余角、补角、对顶角（2）

1、对顶角概念

两边互为反向延长线 2、对顶角性质:对顶角相等

符号语言：∵∠1和∠3是对顶角

∴∠1=∠3

板书2 例1

解：∵∠AOC和∠BOD是对顶角

∴∠AOC=∠BOD ∵∠AOC=72°

∴∠BOD=72°

ACODEBBAOA'B'验证：

∵∠1+∠2=180 ∵∠3+∠2=180 ∴∠1=∠3

练习.直线AB、CD相交于点O，

OE平分∠AOC，∠AOE=25°, 求∠BOD，∠AOD ∵∠BOE=∠DOE-∠BOD，∠DOE =90°

∴∠BOE=90-72=18°

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