列表法教学实录与评析

用列举法求概率

学习目标：

1、知识目标：学习用树形图法和列表法计算两步或三步试验的随机事件发生的概率。

2、能力目标：经历计算理论概率的过程，在活动中培养学生的合作交流意识，提高学生对所研究问题的反思和拓广的能力。

3、情感目标：鼓励学生思维多样性，发展学生的创新意识。

学习重点：学习用树形图法和列表法计算两步或三步试验的随机事件发生的概率。

学习难点：正确的利用树形图法，计算三步试验随机事件的发生概率。

学习方法：引导——探究法

教学流程：

创设问题情境

引入新课

我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这是一个游戏双方获胜概率大小的问题。

下面我们来做一个小游戏：

老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢。请问，你们觉得这个游戏公平吗？

回答问题：

若把其所能产生的结果全部列举出来，是正正、正反、反正、反反。

所有的结果共有四种，并且这个结果出现的可能相同。

（1）满足两枚硬币一正一反（记为事件A）

（2）满足两枚硬币两面一样（记为事件B）

由于双方获胜的概率一样，所以游戏是公平的。

当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目比较少时，我们看到结果很容易全部列举出来，但如果出现结果的数目较多时，要想不重不漏的列出所有可能的结果，还有什么更好的方法呢？我们来看下面的这个问题。

一、阅读质疑、自主探究：

如果有两组牌，它们牌面数字分别为1、2、3，那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和等于4的牌概率是多少？（先自己思考再与同伴交流）

二、多元互动、合作交流

多媒体展示学生的各种做法：

方法1：所有产生的结果全部列举出来共九种：

（1，1）

（2，1）

（3，1）

（1，2）

（2，2）

（3，2）

（1，3）

（2，3）

（3，3）

牌面数字和等于4的概率

方法2：

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3 （2）

（3）

（4）

（3）

（4）

（5）

（4）

（5）

（6）

牌面数字和等于4的概率

方法3：

牌面数字大第一张牌的牌面数字

1 第二张牌的牌面数字

1 （1，1）

（2，1）

（3，1）

（1，2）

（2，2）

（3，2）

（1，3）

（2，3）

（3，3）

2 3 于4的概率

归纳总结：当一次试验2 3 涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多的时候，为不重不漏的列出所有的可能结果，通常采用列表法或树形图法。

问题1：从上面表格中或树形图中，你还能获得哪些事件发生的概率？

答：例如，两张牌的牌面数字和为奇数的概率

两张牌面数字和为3的概率

问题2：还记得前边我们做的抛掷硬币的游戏吗？你能用树形图法或列表法求出两枚硬币正面朝上的概率是多少吗？

（学生的回答可以是多种多样的，提出此问题的目的在引导学生对研究的问题所用的方法进行反思和拓广，逐步形成良好的反思意识。）

三、训练检测、目标探究

小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色“的游戏；下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘可以分成几个相等的扇形，游戏者同时可以转动两个转盘，如果转盘Ａ转出了红色，转盘Ｂ转出了蓝色，那么他就赢了。因为红色和蓝色在一起配成了紫色。

A盘 2红2白

B盘3蓝2白

（1）利用树状图法或列表法表示游戏所有可能出现的结果。

（2）游戏者获胜的概率是多少？

分析：对于A盘转出红色、绿色的可能性一样，对于B盘转出黄色、蓝色、绿色的可能性也是一样的。

解：1、利用树形图法或列表法可以列出所有可能出现的结果有六种。

2、游戏者获胜的概率为１／６

四、迁移运用、拓展探究

甲口袋装有两个相同的小球，它们分别写有字母Ａ、Ｂ，乙口袋装有三个相同的小球，它们分别写有字母Ｃ、Ｄ、Ｅ，丙口袋装有两个相同的小球，它们分别写有字母Ｈ、Ｉ，从三个口袋各随机取出一个小球。

1、取出的三个小球上恰好有一个、两个和三个的元音字母的概率分别是多少？

2、取出的三个小球上全是辅音字母的概率是多少？

（本题中Ａ、Ｅ、Ｉ是元音字母，Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｈ是辅音字母）

这些结果出现的可能性相等

解：

（1）只有一个元音字母的结果有５个，

有两个元音字母的结果有４个，

全部为元音字母的结果有１个，

（２）全是辅音元音字母的结果有２个，

课时小结：

1、用列表法或树形图法求概率时要注意些什么？

2、什么时候用列表法方便？什么时候用树形图法方便？

学生交流后回答：

1、用列表法或树形图法求概率时应注意各种出现的可能性务必相同。

2、当试验包含两步时，列表法比较方便，当然也可以用树形图法，当试验在三步或三步以上时用树形图法方便，此时难以用列表法。

六、课外作业：

Ｐ１５５页

Ｔ

４、５、６

课后反思：

1、《数学课程标准》对概率这部分知识在教学中的要求，应注重所学内容与日常生活、自然、社会相联系，使学生体会概率对制定决策的重要作用。所以在创设问题引入新课时，我通过抛掷硬币，提出游戏公平吗？

作为情景问题，抛掷硬币在生活中随手可来，学生对此感到熟悉、亲切，这个游戏容易引起学生的兴趣，调动起学生学习本节内容的积极性。并且通过学生的计算，既回顾复习了上节课把所产生的结果全部列举出来，求随机事件发生概率的方法，又向学生展示了两步试验随机事件发生概率才的求解，所以本题起着承上启下的作用。

2、由于学生都玩过扑克，他们对扑克牌比较感兴趣，所以探究１题我选取了摸牌求概率。当把所能产生的结果全部列举出来时，有些学生列举时可能会出现遗漏，此时教师要启发引导他们，通过列表或画图的方式求解，其设计意图在于学生通过本题的探究与交流，得出列表法和树形图法求概率的方法。对于学生在回答问题时，所采用的不同方法要给与肯定，并鼓励学生思维的多样性，发展学生的创新意识。此环节学生重在自主探究求概率的方法，要给学生足够的时间进行探究和交流。

3、对于题后的问题1的设计，目的在于引导学生对所研究的问题所用的方法进行反思和拓广，逐步形成良好的反思习惯。对于问题2的设计目的在于引导学生用所学的新方法解决原有的问题，从而培养学生思维的多样性和利用多种方法解决问题的能力。

4、练习题选取了一个形象直观的配紫色游戏，让学生经历用树形图法和列表法求出概率并解决问题的过程，提高应用所学知识解决问题的能力。

5、探究２题选取目的在于向学生展示三步次试验时用列表法已无能为力，此时树形图法是很好解决问题的方法，从而进一步加深对树形图的理解。

课时小节是以交流与反思的形式出现，学生在教流与反思的过程中，对所学的列表法和树形图法的适用范围更清晰，对使用两种方法时需要注意的问题更明确，有利于学生更好的利用两种方法求随机事件的概率。

用列举法求概率(教学设计) 2011-06-14 09:24 来源：

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一、教材分析

1、教材的地位与作用

概率在日常生活中、科学预测中有着非常广泛的应用，它是整个初中数学的一个重点，也是数学研究的一个重要分支。《用列举法求概率（3）》主要内容是用树形图法求概率。在学习本节课之前，学生已经对事件的可能性有了初步的认识，并能用直接列举法和列表法求简单事件的概率，本节课再寻求一种更一般的列举方法求概率——画树形图求概率.在列举过程中培养学生思维的条理性，并把思考过程有条理、直观、简捷地呈现出来，使得列举结果不重不漏。在教学过程中要尽量鼓励和引导学生主动探究和构建知识结构，亲身经历画树形图法的形成过程，并在应用中逐渐加深理解。

2、教学目标：

根据数学课程标准，结合九年级学生认知基础和实际水平，本节课我确定了如下教学目标：

知识：（1）使学生在具体情境中了解概率的意义.

（2）会画树形图计算简单事件的概率.

能力：（1）通过画树形图求概率的过程培养学生思维的条理性，提高学生分析问题、解决问题的能力.

（2）通过对不同列举方法的比较和探究，渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，进一步发展学生抽象概括的能力.

情感：（1）鼓励和引导学生主动探究和建构知识结构，培养勇于探索的学习精神，在利用概率解决某些实际问题的过程中增强应用意识。

（2）通过自主探究、合作交流激发学生的学习兴趣，感受数学的简捷美，及数学应用的广泛性.

、教学重、难点:

教学重点：画树形图计算简单事件的概率.

教学难点：通过学习画树形图计算概率，培养学生思维的条理性.

二、教法学法分析：

（1）学情分析

知识分析：学生对有限可能性事件概率的意义有了初步的认识，并能用直接列举法和列表法求简单事件的概率。

能力分析：九年级学生已经具有一定的活动经验和体验，具备一定的主动参与合作意识和初步的分析、抽象、归纳概括能力。

情感分析：九年级学生已经具有自主学习意识，希望老师能创设便于观察和思考的学习环境，也希望结合具有真实背景的素材，获得数学概念，掌握解决问题的技能与方法.

（2）教法分析：

根据本节教学内容和学生年龄等特点，本节课将采用启发引导和探究相结合的教学方法。在教学过程中“以情境创设为前提，以问题驱动为导向，以学生活动为阵地，以培养能力为宗旨”，在整体设计中采用“创设问题情境----探究学习——交流展示——剖析例题——巩固新知”的模式安排教学；体现数学知识的形成过程。通过真实、熟悉的情景，激发学生的学习动机，尽力唤起学生的求知欲望，促使他们动脑、动手、动口，积极参与学习活动全过程，在老师的指导下生动地、主动地、富有个性地开展学习活动.让学生在探究、交流、归纳、应用的实践活动自主参与知识的发生发展过程。

（3）学法分析：

按照学生认识规律，遵循以学生为主体，教师为主导，教学活动为主线的思想，以自主探究为主，适时点拨为辅的方法进行学习，使学生轻松参与知识的形成过程和应用过程。提高分析问题和解决问题的能力。

三、教学手段：

计算机辅助教学.它为师生的交流和讨论提供了平台，既增强了教学的直观性和启发性，又增大教学容量，节省时间，提高教学效果。

活动1：复习提问巩固旧知

四、教学基本流程：

活动3：交流展示引出新知

活动4：典例精析应用新知

活动6：拓展练习

深化认知

活动7：归纳小结

布置作业

五、教学过程:

（一）复习提问、巩固旧知

问题1．列举一次试验的所有可能结果时，学过哪些方法？

直接列举法．

列表法．

问题2．用列举法求概率的基本步骤是什么？

(1)列举出一次试验的所有可能结果；

(2)数出；

．

（设计意图：通过提问，对前一节课所学方法的步骤进行归纳，体现温故知新的教学原则，为本节课用画树形图法求概率做好铺垫）

（二）创设情境、探究学习

(3)计算概率

首先放一段关于东莞玉兰大剧院大型歌剧表演《猫（The cat）》的宣传录像，引出情境问题。

展示课件1：朋友送有两张歌剧表演的门票，一家三口人谁去呢？妈妈就让小明想一个办法。小明决定用“手心手背”的游戏方式确定哪两个人去,并制定如下规则:三人同时伸出一只手,三只手中恰好有两只手心向上或者手背向上的两人去，若无此情况,再次游戏。

试求出一次游戏就确定出两人去的概率

（设计意图：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。以环青海湖国际公路自行车比赛为背景提出问题，使学生产生一种情感上的亲和力和感召力，而“手心手背”的游戏学生又非常熟悉，极大的激发学生的学习兴趣和参与意识．学生通过计算概率，既复习了上节课用直接列举法求简单事件的概率，又为下一环节探究用其它方法求概率做了铺垫。）

学生利用学过的知识，自主探究解决上述问题．学生在探究学习活动中会有不同的表现，针对可能出现的情况设计教学预案如下：

教学预案1：直接列举法的指导

（1）有的学生用“手心”

、“手背”来直接列举；有的学生用字母、数字、符号来表示“手心”

、“

手背”进行列举．及时对学生不同的方法给予肯定，对进行简化的同学更要给予表扬，在简化过程中培养学生抽象思维能力．

（2）列举中会出现两种情况，一是对于列举不完全或重复的同学，引导他们进行有序地列举，同时请学生思考如何做到不重不漏；二是对于列举完全的同学，启发能否更直观地展现列举过程．对列举出不同结果的学生要及时鼓励。

教学预案2：列表法的指导

用列表法求概率时，学生对如何把一次试验的三个步骤同时反映在一个表格中，感到困难．此时引导学生思考：为什么这个问题用列表的方法不容易解决呢？还有没有其它更好的列举方法呢？激发学生积极探索。

教学预案3：画树形图的指导

在前一节用列表法求概率的课上，出示一道变式题即不放回的问题，深化列表法，渗透树形图法，为本节课做了铺垫，因此少数学生也有可能想到树形图，表扬使用这种方法的学生，并请学生阐述这种方法的优越性，及如何实施这种方法．如果没有学生画出树形图，引导列举完全的学生画出树形图．

（设计意图：探究活动前的教学预案使课堂的指导更有针对性.

对学生出现的问题和想不到的方法给予及时点拨和引导，体现教师的主导作用。）

（三）交流展示、引出新知

请用直接列举法的同学板书探究结果，并进行简单说明．

手心—A 手背—B

AAA，AAB，ABA，ABB，

BAA，BAB，BBA，BBB.

方法1： 方法2：

通过学生自主探究，并准确的表述出自己的方法，培养学生分析问题、解决问题以及归纳问题的能力。引导大家对两种方法进行比较，感受思维的条理性和实施的有序性．

（设计意图：通过探究学习活动,使学生在探索的过程中学会交流与合作，有利于展示学生对问题解决的不同策略,真正体会问题解决的过程，培养学生的发散性思维及创新能力以及克服困难的勇气．）

（四）典例精析、应用新知

例题1.甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状相同的小球若干，甲盒中装有2个小球，分别写有字母A和B；乙盒中装有3个小球，分别写有字母C、D和E；丙盒中装有2个小球，分别写有字母H和I；现要从3个盒中各随机取出一个小球．求

（1）取出的3个小球中恰好有1个，2个，3个写有元音字母的概率各是多少？

（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？

展示课件2:通过图片展示，使例题背景更简单，有利于学生把更多的精力放在树形图的画法和概率的计算上，通过示范画树形图法，让绝大多数学生在解决这个问题中，掌握用画树形图解决求概率的技能，加深学生对画树形图法的理解，增强学习的自信心．

分析：

第一、明确试验步骤：本题一次试验中有几个步骤？顺序是怎样的？

一次试验中有三个步骤，但抽取顺序是不确定的．不妨设抽取顺序为从甲盒取一张、从乙盒取一张、从丙盒取一张．

第二、画出树形图：

第三、计算概率：明确随机事件，正确数出学生讨论后归纳出正确数出从中找出的值．

的方法：

的值，计算概率．

的值.师生共同讨论得出：本题中共有四个随机事件，要分别数出每个随机事件中方法1：通过画出的树形图按由上至下，由左至右的方法把每一个可能的结果写出来，方法2：直接看树形图的最后一步，就可以求出的值；再由最后一步向上逐个找出符合要求的可能结果，求出的值。

方法3：由上至下，根据每一层分成几种结果，利用乘法原理求出的值，再找出符合要求的可能结果，求出的值。

的值容易出现错误，因此，（设计意图：准确画出树形图后，往往因为分枝太多，找在明确随机事件的情况下，总结不同的数的方法供不同层次的学生选择使用很有必要.）

由树形图可以得到，所有可能出现的结果有12个，这些结果出现的可能性相等．

（1）只有一个元音字母的结果有5个，所以有两个元音字母的结果有4个，所以全部为元音字母的结果有1个，所以（2）全是辅音字母的结果有2个，所以；

．

；

；

第四、思考：前面我们按甲、乙、丙的顺序画出树形图，如果改为其它的顺序，求出的概率还是一样的吗？

（设计意图：通过动手实践，使学生体会一次试验步骤的不同顺序，不影响随机事件发生的概率．）

第五、归纳小结：画树形图求概率的基本步骤：

（1）明确一次试验的几个步骤及顺序；

（2）画树形图列举一次试验的所有可能结果；

（3）数出；

（4）计算随机事件的概率．

（设计意图：通过归纳，可以加深学生对新方法的理解，更好的认识到列表法和画树形图求概率的优越性在于能够直观快捷准确地获取所需信息，有利于学生根据实际情况选择正确的方法．）

（五）课堂练习、巩固新知

练习1．小亮上学要经过三个十字路口，每个十字路口遇到红绿灯的机会都相同，小亮希望上学时经过每个路口都是绿灯，这样的机会有多大呢

？

实物投影展示学生的答案，师生共同进行点评。

（设计意图：为了检验学生对画数形图法掌握的情况，加深对列表法、树形图法各自优势的认识，以便面对问题时能灵活选择合适的方法，提高应用所学知识解决问题的能力，设置练习1，除了巩固涉及三个步骤实验适合用画数形图的方法外，还兼为练习2做铺垫．）

练习2．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：

（1）三辆车全部继续直行；

（2）两辆车右转，一辆车左转；

（3）至少有两辆车左转。

实物投影展示学生的答案，师生共同进行点评。

（设计意图：练习2是三步实验的事件，是让学生体会画树形图法的优势。巩固画树形图求概率的知识，感受概率与生活的密切联系．虽然有27种可能的结果，比较复杂，但有练习1搭建的攀援之梯，大部分学生不会感到困难，在学生独立解答的基础上，有针对性的指导困难学生，保证全体学生共同进步．）

拓展练习：袋中有4张上海世博会吉祥物“海宝”

的图片

(图片的形状大小一样)，依次取出（

不放回）两张图片，

求取出的两张图片中恰好有一张是图片A的概率是多少？

解：两张图片中恰好有一枚张是A记为事件M．

解法1:直接列举求得解法2:列表法求得解法3:画树形图求得；

；

.

（设计意图：拓展练习是两步不放回地抽取,使学生认识到树形图在列举不同类情况时表现出来的优越性，弥补了列表法的不足，成为分类列举确保不重不漏而不可或缺的重要工具。同时展示学生解题策略的多样性,拓展学生思维.）

（六）归纳小结、布置作业

归纳小结：学生回顾反思，教师适时引导：

（1）用列表法或数0形图法求概率时，应注意各种结果出现的可能性务必相同，其目的是保证列举的不重不漏．

（2）当实验包含两步时，列表法较方便，当然也可以用树形图法（尤其是“抽取不放回”类问题），如果事件是三步或三步以上的实验时，采用树形图法较为方便，此时难以用列表法。

（3）列表法和画树形图求概率体现数形结合及分类的思想，我们常常借助分类的方法把复杂问题转化为简单问题来解决。

（设计意图：通过问题反思的形式引导学生回顾、归纳、表达，形成知识体系，培养学生归纳总结概括的能力，充分发挥学生的主体作用）

布置作业：

（1）教材课后习题第4、5、6

（2）以生活中等可能事件为背景,编一道计算概率的题目，并解答.

（设计意图：通过作业进一步落实知识和技能，巩固所学知识，体会数学与生活的密切联系．）

板书设计：

画数形图求概率

解：设手心---A，手背---B

恰好有两只手心向上或者手背向上记为事件M

n=8 m=6

解：设手心---A，手背---B

恰好有两只手心向上或者手背向上记为事件M

AAA，AAB，ABA，ABB，

BAA，BAB，BBA，BBB.

n=8 m=6

解：根据题意，画数形图

n=12 m=5

（设计意图：在板书的设计上，注重板书内容的启发性，采用直观形象的板书，紧扣教学目标，有助于学生形成良好的书写与格式习惯．）

用列举法求概率教学设计

2007-11-21 00:05:30.0

王珍

提供

设计思路与理论依据

本节内容是第二十五章第二节“用列举法求概率”的第三课时，主要介绍用列表法和树形图法求概率。从上节课所学用列举法求概率出发，以探究快捷明确的新方法为目标，以两个实际问题为载体，通过学生动手解决问题、观察分析、评价解题方法获得新知。

本节课设计了六个教学活动，难易程度由浅入深，层层递进，解决问题以学生为主，发挥学生的集体智慧，教师从中指导、总结、示范。在教学过程中强调学生形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和体验，充分体现数学教学主要是数学活动的教学这一教育思想。

学情分析

在七年级的学习中，学生通过丰富的实际问题认识到概率是刻画不确定现象的数学模型，学习一些计算概率的方法，通过大量试验对结果做出估计，从而做出合理决策。通过八年级的学习，学生经历了对数据的收集、整理、分析的过程，了解总体、个体、样本，掌握了频率、频数、频数分布直方图等相关知识。本节课为以后利用试验或模拟试验的方法估计一些复杂的随机时间的发生的概率起到承上启下的作用。

教学目标

1、 知识与技能

（1） 使学生在具体情景中了解概率的意义，能够运用列举法（包括列表法、画树形统计图）计算简单事件发生的概率，并阐明理由。

（2） 使学生能够从实际需要出发判断何时选用列表法或画树形统计图求概率更方便。

2、 过程与方法

（1） 通过观察列举法的结果是否重复和遗漏，总结列举不重复不遗漏的方法，培养学生观察、归纳、分析问题的能力。

（2） 通过应用列表法或树形图法解决实际问题，提高学生解决问题的能力，发展应用意识。

3、 情感态度与价值观

（1） 引导学生对问题观察、质疑，激发学生的好奇心和求知欲，使学生在运用数学知识解决问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心。

（2） 提高自身的数学交流水平，增强与人合作的精神和解决实际问题的能力，发展辩证思维的能力。

教学重点 能够运用列表法和树形图法计算简单事件发生的概率并阐明理由。

教学难点 判断何时选用列表法或画树形图法求概率更方便。

教学方法

组织学生进行有效的小组讨论。

教学过程

教教

师

活

动

学

生

活

动

设

计

意

学

图

步骤

（一）创设情境，导入新课

学生回答：

通过问答

活动1 （1） 一次试验中，可能出的方式，帮

问题

现的结果是有限多个；助学生回新

（1） 具有何种问题的实验各种结果发生的可能忆上节课

称为古典概型？

性相等。具有以上特点所学的知

（2） 对于古典概型的试验的试验称为古典概型。

识，为本节课

如何求事件的概率？

（2） 对于古典概型的试课的学习

验，我们可以从事件所准备好知

包含的各种可能的结识基础。

导

果在全部可能的试验

结果中所占的比分析

出事件的概率。

入

一般地，如果在一次试验

中，有几种可能的结果，并且

它们发生的可能性相等，事件

A包含其中的m种结果，那么

事件A发生的概率为P（A）

=

新

课

教

学

新

课

（二）合作交流

解读探究

活动2 问题

掷一颗普通的正方形骰子，求：

（1）“点数为1”的概率

（2）“点数为1或3”的概率

（3）“点数为偶数”的概率

（4）“点数大于2”的概率

活动3 问题

1、 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：

（1） 两个骰子的点数相同；

（2） 两个骰子点数的和是9；

（3） 至少有一个骰子的数为2。

2、列举时如何才能避免重复和遗漏？

教师总结分析：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。我们不妨把两个骰子分别记为第1个和第2个，这样就可以用下面的方形表格列举出所有可能出现的结果。

3、重新用列表法解决上题。

教师结合教科书表25-4，指导学生体会列表法对列举所

学生思考后回答：

掷一个骰子时向上一面的点数可能为1、2、3、4、5、6，共六种，这些点数出现的可能性相等。

（1） P（点数为1）= （2） P（点数为1或3）= （3） 点数为偶数有3种可能，即点数为2、4、6，P（点数为偶数）= （4） 点数大于2有四种可能，即3、4、5、6，P（点数大于2）=

学生思考、解答、发言。

由于本题用列举法求解，所列内容较多，教师应组织学生重点观察解答中列举的内容有无遗漏，有无重复。

教师组织学生讨论并发言。

学生分析思考。

学生思考并回答。

通过简单的回顾练习，使学生进一步在具体情境中了解概率的意义，能阐明运用列举法计算简单事件发生的概率的理由，为本节课探索列表法和树形图法求概率奠定基础。

通过对较为复杂的概率问题的探索，激发学生找到新解法的学习欲望。

通过学生自主探求列表法，使学生对如何时应用列表法，如何应用列表法有更深的理解。

教

学

新

课

教

学

有可能的结果所起的作用，总结并解答。

4、如果把例5中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”，所得到的结果有变化吗？

活动4 问题

1、（用课件展示例6）

教师介绍树形图法：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。

解法见教科书。

2、总结何种概率问题适合用树形图法解决。

（三）应用迁移

巩固提高

活动5 练习

想一想，什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树形图”方便？

1、在6张卡片上分别写有1~6的整数。随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张。那么第一取出的数字能够整除第二次取出的数字的概率是多少？

2、经过某十字路口的汽车，教师组织学生分析本问题如何应用列举法和列表的可行性。

用树形图列举出的结果看起来一目了然，当事件要经过多次步骤（三步以上）完成时，用这种“树形图”的方法求事件的概率很有效。

学生思考，做练习1. 由附表一可以看出，可能出现的结果有36个，他们出现的可能性相等。

满足条件（记为事件A）的结果有14个（表中的阴影部分），记（1，1），（1，2），（1，3），

（1，4），（1，5），（1，6），

（2，2），（2，4），（2，6），

（3，3），（3，6），（4，4），

（5，5），（6，6），所以P（A）= 学生思考做练习2 由附图一可以看出，可能出现的结果有27个，它们出现的可能性相等。

（1）三辆车全部继续直行的结果只有一个；

P（三辆车全部继续直行）= （2）两辆车向右转，一辆车向左转结果有3个；

指导学生如何规范的应用列表法解决概率问题。

使学生在不同的情境下体会列表法的特点。

通过对本题解法的分析，激发学生学习新方法的学习欲望。

通过示范树形图解法，加深学生对此种解法的理解，使学生初步掌握用树形图法解决概率问题的技能。

加深学生对树形图解法的理解。

巩固学生对列表法和树形图法的理解和认识。

它可能继续直行，也可能向左P（两辆车向右转，一辆车向转或向右转。如果这三种可能左转）=

性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，求

下列事件的（3）至少有两辆车向左概率：

转结果有7个，

（1）三辆车全部继续直行；

P（至少有两辆车）=

（2）两辆车向右转，一辆车向左转；

（3）至少有两辆车向左转。

学生独立完成作业，教师

批改总结。

活动6 作业

教科书155页习题25.2第4至6题。

使学生能够从实际需要出发判断何时选用列表法或画树形图求概率更方便，巩固学生使用列表法和树形图法求概率的技能。

了解教学效果，及时调整教学。

课堂

小结

板

书

1、 这节课我们学了哪些内容，有哪些收获？

2、 通过本节课的学习，你学会了几种列举法来求概率，它们各使用于哪些问题？

25.2 用列举法求概率

例5 例6

设

计

P（A）= P (一个元音) =

P（B）=P（C）= P（两个元音）=

P（三个元音）=P（三个辅音）=

教

学

反

思

本节课注重学生的合作和交流活动，的活动中促进知识的学习，并进一步发展学生合作交流的意识和能力。学生对概率的理解应是多方面的，概率应尽量让学生通过具体试验领会，从而形成对某一事件发生的概率的较为全面的理解，初步形成随机观念，发展学生初步的辩证思维能力。

我将从教材分析、目标分析、过程分析、教法分析、评价分析五个方面来具体阐述对本节教材的理解和教学设计。

1教材分析：

1、内容分析：《用列举法求概率》是人教版新教材九年级上册第二十五章第二节，本节内容分四课时完成，本次课设计是第三课时的教学。主要内容是学习用列表法和树形图法求概率。

2、地位与作用：概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛。因此，初中教材增加了这部分内容。了解和掌握一些概率统计的基本知识，是学生初中毕业后参加实际工作的需要，也是高中进一步学习概率统计的基础，在教材中处于非常重要的位置。

3、教学重点：学习运用列表法或树形图法计算事件的概率。

4、教学难点：能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。

2目标分析

依据《数学课程标准》，以教材特点和学生认知水平为出发点，确定以下三方面为本节课的教学目标。

1、知识与技能目标

学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。

2、过程与方法目标 经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。

3、情感与态度目标

通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。

3过程分析

《数学课程标准》明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。”为了向学生提供更多从事数学活动的机会，我将本节课的教学过程设定为以下五个环节：

3.1创设情景，发现新知

教材是通过P151—P152的例5、例6来介绍列表法和树形图法的。

例5（教材P151）：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：

(1) 两个骰子的点数相同；

(2) 两个骰子的点数的和是9；

(3) 至少有一个骰子的点数为2。

这个例题难度较大，事件可能出现的结果有36种。若首先就拿这个例题给学生讲解，大多数学生理解起来会比较困难。所以在这里，我将新课的引入方式改为了一个有实际背景的转盘游戏（前一课已有例２作基础）。

（1）创设情景

引例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。每次选择2名同学分别拨动A、B两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个

节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由。

【设计意图】

选用这个引例，是基于以下考虑：以贴近学生生活的联欢晚会为背景，创设转盘游戏引入，能在最短时间内激发学生的兴趣，引起学生高度的注意力，进入情境。

（2）学生分组讨论，探索交流

在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流。然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即：

“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？”

由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小。此时我首先引导学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A、B两转盘，

即涉及2个因素，与前一课所讲授单转盘概率问题（教材P148例2）相比，可能产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复或遗漏。怎样避免这个问题呢？

实际上，可以将这个游戏分两步进行。

于是，指导学生构造表格

（3）指导学生构造表格

A B

1

6

8

4

5

7

首先考虑转动A盘：指针可能指向1，6，8三个数字中的任意一个，可能出现的结果就会有3个。接着考虑转动B盘：当A盘指针指向1时，B盘指针可能指向4、5、7三个数字中的任意一个，这是列举法的简单情况。当A盘指针指向6或8时，B盘指针同样可能指向4、5、7三个数字中的任意一个。一共会产生9种不同的结果。

【设计意图】

这样既分散了难点，又激发了学生兴趣，渗透了转化的数学思想。

（4）学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论（即列表法）

A B

1

6

8

4

（1，4）

（6，4）

（8，4）

5

（1，5）

（6，5）

（8，5）

7

（1，7）

（6，7）

（8，7）

从表中可以发现：A盘数字大于B盘数字的结果共有5种。

∴P(A数较大)= , P(B数较大)=.

∴P(A数较大)＞ P(B数较大)

∴选择A装置的获胜可能性较大。

在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有序性。

由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举。即先转动Ａ盘，可能出现1，6，8三种结果；第二步考虑转动Ｂ盘，可能出现4，5，7三种结果。

（5）解法二：

由图知：可能的结果为： （1，4），（1，5），（1，7），

（6，4），（6，5），（6，7），

（8，4），（8，5），（8，7）。共计9种。

∴P(A数较大)= , P(B数较大)=.

∴P(A数较大)＞ P(B数较大)

∴选择A装置的获胜可能性较大。

然后，引导学生对所画图形进行观察：若将图形倒置，你会联想到什么？这个图形很像一棵树，所以称为树形图（在幻灯片上放映）。列表和树形图是列举法求概率的两种常用的方法。

【设计意图】自然地学生感染了分类计数和分步计数思想。

3.2自主分析，再探新知

通过引例的分析，学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练掌握这两种方法，我选用了下列两道例题（本节教材P151—P152的例5和例6）。

例1：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：

(1) 两个骰子的点数相同；

(2) 两个骰子的点数的和是9；

(3) 至少有一个骰子的点数为2。

例1是教材上一道“掷骰子”的问题，有了引例作基础，学生不难发现：引例涉及两个转盘，这里涉及两个骰子，实质都是涉及两个因素。于是，学生通过类比列出下列表。

1

第2个

第1个

1

2

3

4

5

6

（1，1）

（2，1）

（3，1）

（4，1）

（5，1）

（6，1）

2

3

4

5

6

（1，2）

（2，2）

（3，2）

（4，2）

（5，2）

（6，2）

（1，3）

（2，3）

（3，3）

（4，3）

（5，3）

（6，3）

（1，4）

（2，4）

（3，4）

（4，4）

（5，4）

（6，4）

（1，5）

（2，5）

（3，5）

（4，5）

（5，5）

（6，5）

（1，6）

（2，6）

（3，6）

（4，6）

（5，6）

（6，6）

由上表可以看出，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。由所列表格可以发现：

（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P(A)=[满足条件的结果在表格的对角线上]

=。

（2）满足两个骰子的点数的和是9（记为事件B）的结果有4个，即（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以P(B)==。

[满足条件的结果在（3，6）和（6，3）所在的斜线上]

（3）至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个，所以P(C)=[满足条件的结果在数字2所在行和2所在的列上]

接着，引导学生进行题后小结：

。

当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法。运用列表法求概率的步骤如下：

①列表

；

②通过表格计数，确定公式P(A)=中m和n的值；

③利用公式P(A)=计算事件的概率。

分析到这里，我会问学生：“例1题目中的“掷两个骰子”改为“掷三个骰子”，还可以使用列表法来做吗？”由此引出下一个例题。

例2：

甲口袋中装有2个相同的球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中3个相同的球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中2个相同的球，它们分别写有字母H和I。从三个口袋中各随机地取出1个球。

（1）取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多少？

（2）取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？

例2与前面两题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到3个因素。此时同学们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树形图法。

本游戏可分三步进行。分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键。

从图形上可以看出所有可能出现的结果共有12个，即：

（幻灯片上用颜色区分）

这些结果出现的可能性相等。

（1）只有一个元音字母的结果（黄色）有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以；

有两个元音的结果（白色）有4个，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以；

全部为元音字母的结果（绿色）只有1个，即AEI ，所以。

（2）全是辅音字母的结果（红色）共有2个，即BCH，BDH，所以通过例2的解答，很容易得出题后小结：

当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。运用树形图法

求概率的步骤如下：（幻灯片）

①画树形图

；

。

②列出结果，确定公式P(A)=中m和n的值；

③利用公式P(A)=计算事件概率。

接着我向学生提问：到现在为止，我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况？

列表法和画树形图法求概率有什么优越性？什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树形图法”更好呢？

【设计意图】

通过对上述问题的思考，可以加深学生对新方法的理解，更好的认识到列表法和画树形图法求概率的优越性在于能够直观、快捷、准确地获取所需信息，有利于学生根据实际情况选择正确的方法。

3.3应用新知，深化拓展

为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况，提高应用所学知识解决问题的能力，在此我选择了教材P154课后练习作为随堂练习。

（1）经过某十字路口的汽车，它可能继续前行，也可能向左或向右，如果这三种可能性大小相同。三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：

①三辆车全部继续前行；

②两辆车向右转，一辆车向左转；

③至少有两辆车向左转。

[随堂练习（1）是一道与实际生活相关的交通问题，可用树形图法来解决。]

（2）在6张卡片上分别写有1——6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？

通过解答随堂练习（2），学生会发现列出的表格和例1的表格完全一样。不同的是：变换了实际背景，设置的问题也不一样。这时，我提出：我们是否可以根据这个表格再编一道用列举法求概率的题目来呢？

为了进一步拓展思维，我向学生提出了这样一个问题，供学生课后思考：

在前面的引例中，转盘的游戏规则是不公平的，你能把它改成一个公平的游戏吗？

【设计意图】

以上问题的提出和解决有利于学生发现数学问题的本质，做到举一反三，融会贯通。

3.4归纳总结，形成能力

我将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获。要求每个学生在组内交流，派小组代表发言。

【设计意图】

通过这个环节，可以提高学生概括能力、表达能力，有助于学生全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，增强自信，也为教师全面了解学生的学习状况、因材施教提供了重要依据。

3.5布置作业，巩固提高

考虑到学生的个体差异，为促使每一个学生得到不同的发展，同时促进学生对自己的学习进行反思，在第五个环节“布置作业，巩固提高”里作如下安排：

（1）必做题：书本P154/ 3，P155/ 4，5

（2）选做题：

①请设计一个游戏，并用列举法计算游戏者获胜的概率。

②研究性课题：通过调查学校周围道路的交通状况，为交通部门提出合理的建议等。

【设计意图】

通过教学实践作业和社会实践活动，引导学生灵活运用所学知识，让学生把动脑、动口、动手三者结合起来，启发学生的创造性思维，培养协作精神和科学的态度。

4教法分析

根据新教材的特点和学生的实际情况，在本节课我主要采用“引导—发现教学法”。在“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的基本过程中特别注重通过各种教学手段，激励、启发、引导学生在探索和研究中获取知识、提高能力。例如：

1、情境激智法：创设各种情境，激发兴趣，吸引学生积极地参与活动；

2、自主探究法：从发现问题、探究方法、解决问题到归纳总结，很多环节都是教师引导、鼓励学生大胆地自主活动；

3、以用促学法：从引例、例题、练习、思考题到课题研究，无一不体现在实际生活中用数学。这样就促进了学生参与活动。

4、设疑求新法：设立“选择哪个装置呢？”

、

“游戏规则公平吗？”等疑问，要求学生设计游戏规则和提出合理建议，激励学生用创新的思维参与活动。

在教学活动中，我充分利用多媒体辅助教学，直观生动地呈现图片和游戏过程，加强课堂的趣味性以及生动性。同时及时、完整地展示了解题过程，既加大课堂信息量，又提高了教学效率。

另外，我非常重视运用神态、手势和语言对学生进行即兴评价，让他们在充分自信的状态下完成学习过程。

5评价分析

（1）以问题为载体，让学生在不断解决问题的活动中学习，充分体现了学生的主体地位。

（2）以发展思维过程为主线，把传授知识和发展思维有机结合起来，采用引导训练，随堂训练、拓展训练，把问题逐步引向更高的深度和广度，让不同层次的学生得到不同程度的训练，很好地发挥了老师的主导作用。

（3）以培养学生的思维能力为目标，重视概念的提取过程，知识的形成、解题思路的探索过程，使学生在这些过程中展开思维，获取新知识和新方法，提高解决问题的能力，并激发他们的创新意识，认真贯彻了国家课程标准所提出的先进教学理念和教育思想。

以上是我对本节课的初浅认识，希望得到各位专家、各位老师的指导，谢谢大