相似多边形公开课教学设计模版

www.czsx.com.cn 第课时

1.了解成比例线段的概念,会判断已知线段是否成比例.

2.理解相似多边形的概念、性质及判定.

3.能根据相似多边形的有关概念和性质进行判断及有关计算.

1.通过观察、测量、辨析、归纳等数学活动,经历相似多边形的概念的形成过程,体会由特殊到一般的数学思想方法.

2.通过应用成比例线段定义及相似多边形的性质进行有关计算,体会方程思想在几何中的应用,渗透数形结合思想.

1.经历相似多边形概念的形成过程,培养学生的观察、推理能力,激发学生探究及发现数学问题的兴趣.

2.在探索相似多边形性质的过程中,培养学生与他人交流、合作的意识和品质.在观察、操作、推理的探究过程中,体验数学活动充满探索性和创造性.

【重点】

1.理解并掌握相似多边形的概念及性质.

2.能利用成比例线段的概念及相似多边形的性质进行有关计算.

【难点】

探索相似多边形的性质中的“对应”关系.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

形状相同的两个三角尺及边长不等的两个正方形.

www.czsx.com.cn

导入一:

如图所示的一块黑板,长3米,宽1.5米,加一7.5厘米宽的边框,边框外围与边框里边的矩形形状相同吗?

【导入语】

我们凭借“直观”感觉这两个矩形的形状相同,实际上这两个矩形的形状是不相同的,通过今天的学习,我们将知道这两个矩形的形状为什么不相同.

导入二:

如图所示,将△ABC用2倍放大镜观察得到△A1B1C1,这两个三角形相似吗?

这两个三角形中的对应角、对应边之间有什么关系? 导入三:

如图所示,将四边形ABCD用2倍放大镜观察得到四边形A1B1C1D1,这两个四边形相似吗?这两个四边形中的对应角、对应边之间有什么关系?

[设计意图]

通过黑板四周加宽得到的矩形与原矩形是否相似导入新课,激发学生学习的求知欲,为本节课学习相似多边形做好铺垫.以学生熟悉的放大镜观察三角形和四边形导入新课,学生易于理解和掌握,降低学习相似多边形概念的难度.

[过渡语]

思考导入中的问题,我们将得到相似多边形的概念.

一、成比例线段概念

(1)把九年级数学课本的两个邻边看作两条线段AB和CD,那么什么是这两条线段的比?

www.czsx.com.cn

(这两条线段的长度比叫做这两条线段的比)

(2)对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段成比例.

(3)如何判断四条线段是成比例线段?

(四条线段中其中两条线段的比与另两条线段的比相等,就说这四条线段成比例)

(4)成比例线段的概念中应注意什么问题?

(成比例线段概念中的四条线段是有顺序的,如a,b,c,d是成比例线段与a,d,b,c是成比例线段得到的比例式是不同的)

【师生活动】

学生在教师的引导下思考回答,教师课件展示成比例线段的概念.

[设计意图]

学生在教师提出的问题的引导下,层层深入地形成成比例线段的概念,学生经历概念的形成过程,加深对概念的理解,为相似多边形的概念的形成做了铺垫.

二、认识相似多边形

思路一

(1)问题思考.

①在导入二的△ABC及用2倍放大镜观察得到的△A1B1C1中,对应角之间的数量关系为:∠A

∠A1,∠B

∠B1,∠C

∠C1;

对应边之间的数量关系为:=

=

.

=

,=

,=

,即

②在导入三的四边形ABCD及用2倍放大镜观察得到的四边形A1B1C1D1中,对应角之间的数量关系为:∠A

∠A1,∠B

∠B1,∠C

∠C1,∠D

∠D1;

对应边之间的数量关系为:=

,=

,=

,=

,即

=

=

=

.

③放大镜下的图形与原图形是否相似?两个图形的对应角、对应边之间有什么关系?

(相似,对应角相等,对应边成比例)

④你能尝试给出相似多边形的定义吗?并尝试用几何语言表示出来.

⑤相似比的值与两个相似多边形的顺序有关吗?

www.czsx.com.cn

⑥相似多边形的对应角、对应边有什么特点?用几何语言怎样表示?

【师生活动】

(1)学生独立思考后小组合作交流,共同探究相似多边形的概念,教师要给学生足够的时间让学生交流,在巡视过程中帮助学习有困难的学生,并对学生的展示作出点评,同时规范学生的语言表达.

(2)相似多边形定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

【几何语言】

如图所示的两个大小不同的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;与四边形A1B1C1D1相似.

===,因此四边形ABCD

(3)相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.

如上图,∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,∴

∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;

思路二

(1)动手操作并思考.

===.

①测量课前准备的两个相似三角形的各角(两个形状相同的三角尺),你得到什么结论?

(对应角相等)

②测量课前准备的两个相似三角形的各边,你发现了什么?

(对应边成比例)

③课前准备的两个正方形的各角相等吗?

(相等,都等于90°)

④课前准备的两个正方形的各边是否成比例?为什么?

(成比例,因为两个正方形边长分别相等,对应边的比都等于两个正方形的边长比.)

⑤你能根据以上探究活动得出相似多边形的概念吗?

⑥怎样用几何语言表示相似多边形的概念呢?

⑦相似比与两个相似多边形的顺序有关吗?

www.czsx.com.cn

⑧相似多边形的对应角、对应边有什么特点?用几何语言怎样表示?

【师生活动】

学生在教师的引导下,边动手操作边思考回答问题,师生共同归纳出相似多边形的概念.

(2)相似多边形定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

【几何语言】

如图所示的两个大小不同的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;与四边形A1B1C1D1相似.

===,因此四边形ABCD

(3)相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.

如上图,∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,∴

∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;===.

[设计意图]

通过观察——测量——辨析——归纳等数学活动,探究相似多边形的定义及性质,让学生体会由特殊到一般的数学思想方法.在探究过程中,教师通过设置层层深入的小问题,引导学生完成探究活动,降低了学生学习新知识的难度,体验了知识的形成过程,提高了学生分析问题的能力.通过几何语言表达相似多边形的定义和性质,完成文字与符号语言之间的转化,培养学生用符号语言表达数学知识的能力.

三、例题讲解

判断正误,正确的说明理由,错误的举出反例.

(1)所有的矩形都相似.

(

)

(2)所有的菱形都相似.

(

)

(3)所有的正方形都相似.

(

)

(4)所有的等腰直角三角形都相似.

(

)

(5)所有的等边三角形都相似.

(

)

【师生活动】

学生独立思考后小组讨论交流,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评,并指出易错点,强化相似多边形的判定方法.

www.czsx.com.cn

(教材例题)如图所示,四边形ABCD与EFGH相似,求角α,β

的大小和EH的长度x.

【思考】

(1)相似多边形的性质是什么?

(2)根据相似多边形的性质,你能求出∠F,∠G的大小吗?

(3)四边形的内角和是多少度?

(4)由四边形内角和定理,能否求出∠H的值?

(5)相似四边形中,对应边AB与EF,AD与EH之间有什么关系?

(6)在比例式中,已知三条线段的长能否求出第四条线段的长?尝试求出EH的值.

【师生活动】

学生在教师问题的指导下独立思考,完成解答过程,小组之间交流结果,小组代表板书过程,教师点评,归纳总结.

解:∵四边形ABCD与四边形EFGH相似,

∴α=∠C=83°,∠A=∠E=118°,

即=,解得x=28.

=,

在四边形ABCD中,β=360°-83°-78°-118°=81°.

【教师追问】

利用相似多边形的性质,可以解决哪种类型的几何问题?

(求角的大小、线段的长度;证明角相等、线段成比例等)

[设计意图]

通过对例题的探究,进一步巩固相似多边形的概念和性质,同时通过小组合作交流,归纳解题方法和思路,培养学生的合作意识及分析问题的能力.

[知识拓展]

(1)式子=也可以写成a∶b=c∶d,通常这里的a叫做第一比例项,b叫做第二比例项,c叫做第三比例项,d叫做第四比例项.

(2)有时在=中,b=c,例如b2(或c2)=ad.

=,这时我们把b(或c)叫做a,d的比例中项,此时

www.czsx.com.cn

(3)在式子=的两边同时乘bd,得ad=cb,在与比例有关的计算中,我们常通过上述变形转化字母之间的关系.

(4)通常情况下,四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a,b和c,d的单位分别一致也可以.

(5)在相似多边形中,“对应边成比例”“对应角相等”这两个条件必须同时成立时,才能说明这两个多边形是相似多边形.

(6)相似多边形的性质可以用来确定两个多边形中未知的边的长度或未知的角的度数.

(7)相似比的值与两个多边形的前后顺序有关.

(8)相似比为1∶1的两个相似多边形是全等多边形.

1.成比例线段:对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段成比例.

2.相似多边形的定义:.两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

3.相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.

1.关于相似多边形的下列叙述正确的是

(

)

A.对应边相等的多边形叫做相似多边形

B.多边形的边数不同时也可以相似

C.对应角、对应边都相等的多边形叫做相似多边形

D.对应角相等、对应边成比例的多边形叫做相似多边形

解析:两个边数相同的多边形,满足对应边成比例、对应角相等的多边形叫做相似多边形,两个条件缺一不可,所以A,C错误,D正确;边数不相等的多边形一定不相似,所以B错误.故选D.

2.一个五边形的各边长分别为1,2,3,4,5,另一个和它相似的五边形的最长边的长为7,则后一个五边形的周长为

(

)

A.27

B.25

C.21

D.18

www.czsx.com.cn

解析:根据相似多边形对应边成比例得相似比为,所以边长为1,2,3,4的各边对应的边长为,,,,则周长为++++7=21.故选C.

3.已知a,b,c,d是成比例线段,且a=3 cm,b=2 cm,c=6 cm,则d=

cm.

解析:因为a,b,c,d是成比例线段,所以=,把a=3 cm,b=2 cm,c=6 cm代入,得=,解得d=4 cm.故填4.

4.在比例尺为1∶6000000的地图上,量得南京到北京的距离是15 cm,则这两地的实际距离是

km.

解析:设两地的实际距离为x

cm.根据图上距离与实际距离的比等于比例尺,得=,解得x=90000000,90000000 cm=900 km.故填900.

5.如图所示,六边形ABCDEF与六边形A'B'C'D'E'F'相似,已知AB=5 cm,EF=6 cm,CD与C'D'的比值为1∶3,∠E=125°,求A'B',E'F'的长及∠E'的度数.

解:∵六边形ABCDEF与六边形A'B'C'D'E'F'相似,

∴===,∠E'=∠E=125°.

∴A'B'=3AB=15 cm,E'F'=3EF=18 cm.

www.czsx.com.cn

第2课时

1.成比例线段概念

2.认识相似多边形

定义

性质

表示

3.例题讲解

例1

例2

一、教材作业

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列各组中的四条线段成比例的是

(

) A.a=,b=3,c=2,d=

B.a=4,b=6,c=5,d=10 C.a=2,b=,c=2,d=

D.a=2,b=3,c=4,d=1 2.下列说法中正确的是

(

) A.两个平行四边形一定相似

B.两个菱形一定相似

C.两个矩形一定相似

D.两个等腰直角三角形一定相似

3.若四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',且AB∶A'B'=1∶2,已知BC=8,则B'C'的长为A.4

B.16

C.24

D.64 4.如图所示的两个四边形相似,则α的度数是

(

) (

)

www.czsx.com.cn

A.87°

B.60°

C.75°

D.120°

5.如图所示,有三个矩形,其中是相似图形的是

(

)

A.甲和乙

B.甲和丙

C.乙和丙

D.甲、乙和丙

6.如果a,b,x,y四条线段成比例,那么可写成比例式

,用乘法的形式表示为

.

7.已知=,则=

.

8.在比例尺为1∶40000的工程示意图上,南京地铁一号线的长度约为54.3 cm,它的实际长度约为

km.

9.下列说法中,正确的是

(填序号).

①对应角相等的两个多边形相似; ②对应边成比例的两个多边形相似; ③若两个多边形不相似,则对应角不相等; ④若两个多边形不相似,则对应边不成比例; ⑤边长分别为3,5的正方形是相似多边形; ⑥全等多边形一定是相似多边形.

10.如图所示,把矩形ABCD对折,折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似,已知AB=4.

(1)求AD的长; (2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.

【能力提升】

www.czsx.com.cn 11.如果x∶y∶z=1∶3∶5,那么=

.

12.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=12 cm,BC=27 cm,E,F分别在两腰AB,CD上,且EF∥AD,梯形AEFD∽梯形EBCF,则EF的长为

.

13.如图所示,依次连接正方形ABCD各边中点E,F,G,H所形成的四边形与原正方形相似吗?若相似,求出相似比.

【拓展探究】

14.在一矩形花坛ABCD的四周修筑小路,使得相对两条小路的宽均相等.若AB=20米,AD=30米,则小路的宽x与y的比值为多少时,能使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似?请说明理由.

【答案与解析】

1.C(解析:C中==,==,所以=,所以a,b,c,d是成比例线段.故选C.) 2.D(解析:两个平行四边形的角不一定相等,所以不一定相似;两个菱形的角不一定相等,所以不一定相似;两个矩形的对应边不一定成比例,所以不一定相似;两个等腰直角三角形对应边成比例,对应角相等,两个三角形相似.故选D.) 3.B(解析:根据相似多边形的对应边成比例,可得B'C'=16.故选B.) =,所以=,所以

www.czsx.com.cn 4.A(解析:根据相似多边形的对应角相等及四边形内角和为360°可得138°+60°+75°+α=360°,解得α=87°.故选A.) 5.B(解析:矩形的四个角都是直角,所以三个矩形的对应角相等,甲和丙的对应边的比相等,而甲和乙的对应边的比不相等,即甲和丙的对应边成比例,甲和乙的对应边不成比例,所以甲和丙相似,甲和乙不相似.故选B.) 6.=

ay=bx(解析:根据成比例线段定义可得=,由比例基本性质可得ay=bx.故填=,ay=bx.) 7.(解析:设a=5k,b=2k,则==.故填.) 8.21.72(解析:设实际距离为x cm,根据图上距离∶实际距离=比例尺,可得得x=2172000,2172000 cm=21.72 km.故填21.72.) =,解9.⑤⑥(解析:对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似,所以①②错误;两个多边形不相似时,对应角可能相等,如矩形和正方形不相似,但对应角相等,所以③错误;两个多边形不相似时,对应边可能成比例,如菱形和正方形不相似,但对应边成比例,所以④错误;任意两个正方形对应角相等,对应边成比例,故任意两个正方形都相似,所以⑤正确;全等多边形是相似多边形的特例,所以⑥正确.故填⑤⑥.) 10.解:(1)设矩形ABCD的长AD=x,则DM=AD=x.∵矩形DMNC与矩形ABCD相似,∴=,即=,∴x=4或x=-4(舍去).∴AD的长为4.

(2)矩形

www.czsx.com.cn DMNC与矩形ABCD的相似比为4∶4=1∶.

11.(解析:设x=k,y=3k,z=5k,所以===.故填.) 12.18 cm(解析:∵梯形AEFD∽梯形EBCF,∴=,∴=,解得EF=18.故填18 cm.) 13.提示:设正方形ABCD的边长为a,因为EFGH也是正方形,所以两个正方形相似.连接EG,HF可知正方形ABCD的面积是正方形EFGH面积的两倍,故正方形EFGH的面积是a2,所以边长为a,所以正方形ABCD与四边形EFGH的相似比为a∶a=∶1.

A'B'C'D'与矩形ABCD相似,∴=,即14.解:∵矩形=,∴20(30+2x)=30(20+2y),解得=.∴小路的宽x与y的比值为时,矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似.

本节课首先提出问题:矩形黑板四周加宽后的四边形与原四边形形状是否相同?学生往往会不假思索地认为相同,教师告诉学生其实不相同,本节课的内容就可以解释为什么不相同,顺势导入课题,再以学生熟悉的放大镜导入新课,让学生体会数学与实际生活密切联系,通过

www.czsx.com.cn 探究放大镜下的三角形、四边形与原图形的对应边、对应角之间的关系,很自然地引出相似多边形的概念,在概念的探究过程中,教师以小问题的形式层层深入,让学生体会概念的形成过程,易于理解和掌握,在探究相似多边形的性质及应用时,学生以小组合作交流为主,课堂气氛活跃,学生思维敏捷,达到了良好效果.

本节课的内容较为简单,重点是探究相似多边形的概念、性质及应用其进行有关的计算,因为是课容量较小的课时,所以应该大胆放手,给学生大胆展示的时间和空间,但学生展示自己的热情不够,表现拘谨,放不开.学生是课堂的唯一主角,教师只是课堂上的引导者,所以在以后的教学中应鼓励学生大胆展示自己,善于发表自己的看法,作为教师,在数学课上应尽量给他们表现的机会.

相似多边形是在相似图形的基础上,通过对对应边、对应角数量关系的一个刻画得出的.以黑板加宽的生活实例导入新课,由于直观上观察相似,所以教师给出不相似的结论后,更能激发学生的学习兴趣,同时让学生体会数学来源于生活,与生活息息相关,然后以学生的自主探究为主线,探究相似多边形的概念和性质,课堂上教师以问题形式引导学生探究,多给学生思考、交流、展示的时间和空间,让学生在课堂上体验知识的形成过程,提高数学思维能力及分析问题、解决问题的能力.

(1)本节课的相似多边形是在相似图形的基础上,通过对对应边、对应角进行数量上的刻画得出的,相似图形是本章内容的基础,所以本节课的相似多边形起着承上启下的作用,为后面学习相似三角形起着推波助澜的作用.在教学设计中要在紧扣教材的基础上创造性地使用教材,在教学导入中,以加宽黑板这一生活实例和学生熟悉的放大镜问题导入新课,让学生体会到数学来源于生活,又应用于生活,同时又激发了学生学习的欲望,学生带着疑问走进课堂,在学习过程中会收获更多的知识.

(2)线段成比例是探究相似多边形概念和性质的基础,在教学设计时首先知道什么是线段的比,导出四条线段成比例的概念,为探究相似多边形的概念做好铺垫.通过探究放大镜下的三角形、四边形的对应边、对应角之间的关系,很自然地得到相似多边形的概念,让学生亲身经

www.czsx.com.cn 历知识的形成过程,体会由特殊到一般的数学思想方法.

(3)在课堂上注重学生能力的培养,教学设计中,学生自主探究有关概念、性质及例题时,由小问题层层深入解决,在教师问题的引导下,学生通过自主探究、小组合作交流等数学活动得出结论和解题思路,培养学生分析问题、解决问题的能力;教学设计中习题的设计解决验证导入中的实例,做到首尾呼应,提高学生应用数学的能力;通过小组合作交流,培养学生合作意识,提高与他人交流的能力.

已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,将△ABE沿AE向上折叠,使B点落在AD上的F点.若四边形EFDC与矩形ABCD相似,求AD的长.

〔解析〕

设AD=x,由四边形EFDC与矩形ABCD相似,根据相似多边形对应边的比相等列出比例式,求解即可,用方程思想解答几何题是常用的思想方法.

解:∵矩形ABCD中,AF由AB折叠而得,

∴ABEF是正方形.

又∵AB=1,∴AF=AB=EF=1.

设AD=x,则FD=x-1.

∵四边形EFDC与矩形ABCD相似,

∴=,即=.

解得x1=,x2=(负值,舍去).

∴AD=

.