正弦、余弦、正切函数的简单应用第二课时教学实录

28.2.1

解直角三角形

一、教学目标

知识与技能

1.理解直角三角形中五个元素之间的关系及什么是解直角三角形.

2.会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.

过程与方法

1.综合运用所学知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.

2.通过学习,发展分析、归纳、抽象、概括的能力,培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移.

情感价值

1.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯.

2.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数学的信心.

二、教学重难点

【重点】

理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法.

【难点】

理解并掌握解直角三角形的方法.

三、教学准备

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复习、记忆特殊三角函数值.

四、教学过程

1、复习引入

a.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则a,b,c,∠A,∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢? (1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理); (2)两锐角之间关系:∠A+∠B=90°;

(3)边角之间关系:sin A=a/c,cos A=b/c,tan A=a/b.

b.在本章引言中我们曾经描述过比萨斜塔倾斜程度的问题,把1972年的情形抽象为数学问题为:设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为C(如图所示).在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2 m,AB=54.5 m,求∠A的度数.

【师生活动】

学生独立思考后回答,教师点评.

sin A= =

≈0.0954.

利用计算器可得∠A≈5°28'.

【问题】

在Rt△ABC中,你还能求出其他的边和角吗?

[设计意图]

通过回顾直角三角形中边与角、边与边、角与角之间的数量关系,为本节课的学习做好铺垫,以实际问题导入新课,体会数学来源于生活,激发学生学习兴趣,同时通过已知直角三角形的一些元素求出直角三角形的其他元素,过渡到本节课的课题.

2.新知讲授

一、共同探究

思路一

探究:

(1)在Rt△ABC中,∠A=60°,AB=30,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?

(2)在上图中,若AC=

,BC=

,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?

(3)在上图中,若∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?

(4)在直角三角形中,知道几个元素就可以求出其他元素?

【师生活动】

小组合作交流，教师进行汇总归纳.

【归纳总结】

(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一条边),就可以求出其余的三个未知元素.

(2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.

(3)解直角三角形,只有两种:①已知两条边;②已知一条边和一个锐角.

(4)解直角三角形的步骤: 图形

已知类型

两边

斜边,一直角边(如c,a) 已知条件

解法步骤

(1)b=

-

(2)由sin A=

求∠A

(3)∠B=90°-∠A

一边一角

斜边,一锐角(如c,∠A) 两直角边(a,b) (1)c=

(2)由tan A=

求∠A

(3)∠B=90°-∠A

(1)∠B=90°-∠A

(2)由sin A=

,得

a=c·sin A

(3)由cos A=

,得

b=c·cos A

(1)∠B=90°-∠A

(2)由tan A=

,得一直角边,一锐角(如a,∠A)

b=

(3)由sin A=

,得

c=

[设计意图]

学生在教师问题的引导下思考分析,合作交流并归纳结论,学生经历概念的形成过程,理解掌握解直角三角形的概念,提高学生分析问题的能力,培养学生的发散思维能力.

3、例题讲解

如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=

,BC=

,解这个直角三角形.

(1)已知线段AC,BC是∠A的邻边和对边,用哪个三角函数可以表示它们之间的等量关系?

(2)已知∠A的三角函数值可以求∠A的度数吗?

(3)已知∠A的度数怎样求∠B的度数?

(4)你有几种方法可以求斜边AB的长?

学生思考,小组交流,板书过程.

【课件展示】

解:∵tan

A= =

=

,

∴∠A=60°,∠B=90°-∠A=90°-60°=30°,

AB=2AC=2

.

如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).

由∠B=35°,可得∠A=

=

°;由∠B=35°及它的对边b=20,根据

可得a=

=

;由∠B=35°及它的对边b=20,根据

可得c=

=

.

【问题】

你还有其他方法求c的值吗?

【学生活动】

独立完成解答过程,小组交流，教师对学生的板书进行点评,强调规范性,并鼓励学生用多种方法求解.

解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55°.

∵tan

B=

,∴a= =

≈28.6.

∵sin

B=

,∴c= =

≈34.9.

[设计意图]

通过例题理解和掌握解直角三角形的思路和方法,进一步训练学生学会灵活运用直角三角形的有关知识解直角三角形,并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解,同时提高学生分析问题和解决问题的能力,通过规范书写过程,培养学生严谨的学习态度.

[知识拓展]

(1)直角三角形中一共有六个元素,即三条边和三个角,除直角外,另外的五个元素中,只要已知一条边和一个角或两条边,就可以求出其余的所有未知元素.

(2)运用关系式解直角三角形时,常用到下列变形:①锐角之间的关系:∠A=90°-∠

B,∠B=90°-∠A.②三边之间的常用变形:a=

-

,b=

-

,c=

.

(3)边角之间的常用变形:a=c·sin A,b=c·cos A,a=b·tan A,a=c·cos B,b=c·sin B,b=a·tan B.

(4)虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种,但为了计算方便,最好遵循“先求角后求边”和“宁乘不除”的原则.

(5)选择关系式时要尽量利用原始数据,以防“累积误差”.

(6)遇到不是直角三角形的图形时,要适当添加辅助线,将其转化为直角三角形求解.

4、课堂小结

1.解直角三角形的概念

2.直角三角形中五个元素之间的关系: (1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理); (2)两锐角之间关系:∠A+∠B=90°;

(3)边角之间关系:sin A=

,cos A=

,tan A=

.

3.解直角三角形的基本类型及解法步骤:(参考前面表格) 5、板书设计

1.共同探究

28.2.1

解直角三角形

3.例题讲解

例1

例2 6、布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第77页习题28.2第1题.

【选做题】

教材第78页习题28.2第6题.

7、教学反思

复习直角三角形三边之间的关系、角之间的关系及边角之间的关系,为本节课的学习打下基础,同时以生活实际问题导入新课,激发学生学习兴趣,调动学生学习的积极性.通过探究已知直角三角形的两个元素求其他元素的过程,引出解直角三角形的概念,学生经历概念的形成过程,更利于理解与掌握.例题的分析讲解,让学生体会解直角三角形的方法,提高学生学习能力,培养良好的思维习惯.